เรื่องเสริม · ต่อจากเวกเตอร์ ก่อนฟังก์ชันหลายตัวแปร · 15 นาที

มิติ

ต้องใช้ตัวเลขกี่ตัวบอกว่าอยู่ตรงไหน และจะมองเห็นสิ่งที่มีมิติมากกว่าภาพที่วาดได้อย่างไร

จุดหนึ่งจุด บนเส้นตรงใช้ตัวเลขตัวเดียวบอกตำแหน่ง บนระนาบใช้สองตัว ในปริภูมิใช้สามตัวสลับ 1, 2 และ 3 มิติ แล้วเลื่อนจุดด้วยแถบมิติก็คือจำนวนนี้เท่านั้น: ต้องใช้ตัวเลขกี่ตัวจึงบอกได้ว่าอยู่ตรงไหน มิติใหม่แต่ละมิติคือทิศใหม่ที่ตั้งฉากกับทุกทิศเดิม เส้นประจึงชนแกนเป็นมุมฉากเสมอ

เริ่มเลย ↓ ← เวกเตอร์ บทก่อนหน้า เปิดกระดานสามมิติ

กราฟต้องใช้มิติมากกว่าจำนวนตัวแปรต้นหนึ่งมิติ

y = f(x) มีตัวแปรต้นหนึ่งตัว ผลลัพธ์หนึ่งตัว กราฟจึงเป็นเส้นโค้งบนกระดาษแบน: สองมิติ ส่วน z = f(x, y) มีตัวแปรต้นสองตัว จึงต้องมีทิศที่สามไว้ให้ผลลัพธ์ เป็นพื้นผิวในปริภูมิ ฟังก์ชันหลายตัวแปรใน Math 2 เป็นแบบนี้ทั้งหมด ลองนับก่อนวาด:

กราฟของ w = f(x, y, z) ต้องใช้กี่มิติ

พื้นผิวบนกระดาษแบน: เส้นระดับ

พื้นผิว z = f(x, y) ถูกตัดด้วยระนาบแนวนอน z = k เส้นสีเหลืองคือทุกจุดบนพื้นผิวที่สูง k พอดี ข้างใต้บนพื้นคือเงาของมันเลื่อน k แล้วกดวาดเส้นของทุกความสูง จากนั้นมองจากด้านบนมองจากด้านบน พื้นผิวหายไป เหลือแต่เส้นระดับ แต่มันยังบอกรูปร่างได้ครบ: เส้นชิดกันคือชัน ห่างกันคือลาด วงเล็ก ๆ ที่ปิดตัวเองคือยอด นี่คือเส้นชั้นความสูงในแผนที่เดินป่าพอดี: สามมิติบนกระดาษแบน ด้วยการหั่นเป็นชั้น

เส้นระดับของ z = x² + y² ที่ความสูง z = 9 คือ …

สี่มิติ: ภาพยนตร์ของรอยตัดสามมิติ

w = f(x, y, z) ต้องใช้สี่มิติ แต่ถ้าตรึง w ไว้ที่ค่าหนึ่ง c จุดทั้งหมดที่ w = c จะเป็นพื้นผิวในปริภูมิ เรียกว่าพื้นผิวระดับ เป็นแนวคิดเดียวกับเส้นระดับ เพียงสูงขึ้นหนึ่งมิติเลื่อน c หรือกดเล่นให้ดูเป็นภาพยนตร์ แล้วลองฟังก์ชันที่สอง เลื่อน c ผ่านศูนย์สำหรับ x² + y² + z² พื้นผิวระดับคือทรงกลมที่โตออกจากจุดกำเนิด ส่วน x² + y² − z² เป็นไฮเพอร์โบลอยด์ 2 ชั้นเมื่อต่ำกว่า 0 เป็นกรวยพอดีที่ 0 และ 1 ชั้นเมื่อมากกว่า 0 พื้นผิวในบทเวกเตอร์จึงเป็นรอยตัดของกราฟสี่มิติกราฟเดียวกัน เวลามักถูกใช้เป็นทิศที่สี่แบบนี้: ภาพยนตร์คือโลกสามมิติ ทีละชั้นในแต่ละขณะ

เคล็ดลับทั้งหมดอยู่ตรงนี้ และ Math 2 ใช้มันทุกบท: อนุพันธ์ย่อย (partial derivative) คือความชันของรอยตัดหนึ่งรอย ปริพันธ์สองชั้น (double integral) คือการรวมรอยตัดเข้าด้วยกัน และเกรเดียนต์ชี้ตัดข้ามเส้นระดับ เมื่อภาพต้องใช้มิติมากเกินไป ให้ตรึงตัวเลขบางตัวไว้ แล้วดูสิ่งที่เหลือ