เวกเตอร์และเรขาคณิตสามมิติ
ลูกศรที่บอกทั้งทิศและระยะ — และสิ่งที่มันวัดได้ในสามมิติ: มุม พื้นที่ ปริมาตร เส้นตรง และระนาบ
เบราว์เซอร์นี้วาดภาพสามมิติไม่ได้ (ไม่มี WebGL)
Q อยู่ทางไหนของ P
ก่อนอื่น ลองเดา: เวกเตอร์จาก P(1, −2, 3) ไป Q(3, 4, 0) คือ …
ปลายลบต้น: Q − P = ⟨3 − 1, 4 − (−2), 0 − 3⟩ = ⟨2, 6, −3⟩ ส่วน ⟨−2, −6, 3⟩ คือ P − Q เส้นทางขากลับจาก Q มา P ยาวเท่ากันแต่ทิศตรงข้าม ⟨4, 2, 3⟩ คือเอาจุดมาบวกกัน และ ⟨3, 4, 0⟩ คือตำแหน่งของ Q เมื่อมองจากจุดกำเนิด ไม่ใช่จาก P
เวกเตอร์ (vector) คือทิศกับระยะรวมกัน เขียนเป็นสามก้าว: ตามแกน x, ตามแกน y, ตามแกน z จากจุด P ไปจุด Q คือ Q − P ปลายลบต้น เวกเตอร์ไม่ได้ติดอยู่ที่ไหน สามก้าวเดิมจะเริ่มจากจุดใดก็เป็นเวกเตอร์เดียวกัน
ยาวเท่าไร: พีทาโกรัสสองครั้ง
เบราว์เซอร์นี้วาดภาพสามมิติไม่ได้ (ไม่มี WebGL)
|v| = √(x² + y² + z²) ของโดรนคือ |⟨2, 6, −3⟩| = √(4 + 36 + 9) = √49 = 7 หารเวกเตอร์ด้วยความยาวของมัน จะได้ทิศเดิมแต่ยาว 1 เรียกว่า เวกเตอร์หนึ่งหน่วย (unit vector) û = v / |v| = ⟨2/7, 6/7, −3/7⟩ คือ “ไปทางไหน” โดยเอาระยะออกไปแล้ว
dot product: ลูกศรสองอันไปทางเดียวกันแค่ไหน
เบราว์เซอร์นี้วาดภาพสามมิติไม่ได้ (ไม่มี WebGL)
dot product (ผลคูณจุด) เปลี่ยนเวกเตอร์สองตัวให้เป็นตัวเลขตัวเดียว: a·b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ = |a||b|cos θ ดังนั้น cos θ = a·b / (|a||b|) ให้มุมระหว่างเวกเตอร์คู่ไหนก็ได้ และ a·b = 0 ก็ต่อเมื่อตั้งฉากกัน เป็นการตรวจที่จะใช้บ่อยที่สุด
เวกเตอร์ไหนตั้งฉากกับ ⟨1, 2, 3⟩
1·3 + 2·0 + 3·(−1) = 3 + 0 − 3 = 0 ส่วนตัวอื่น: 3 − 2 + 0 = 1 (ใกล้แต่ไม่ศูนย์), 2 + 8 + 18 = 28 (ทิศเดียวกัน เพราะเป็นสองเท่าของ ⟨1, 2, 3⟩), −1 − 4 − 9 = −14 (ทิศตรงข้ามพอดี)
cross product: ตั้งฉากกับทั้งสองตัว
เบราว์เซอร์นี้วาดภาพสามมิติไม่ได้ (ไม่มี WebGL)
cross product (ผลคูณไขว้) a × b = ⟨a₂b₃ − a₃b₂, a₃b₁ − a₁b₃, a₁b₂ − a₂b₁⟩ คือดีเทอร์มิแนนต์ 3 × 3 ที่มี i, j, k อยู่แถวบน ตัวกลางคือตัวที่มักเครื่องหมายผิด: เป็น a₃b₁ − a₁b₃ จากเครื่องหมายลบของพจน์กลางในดีเทอร์มิแนนต์ ทิศของมันตามกฎมือขวา: นิ้วกวาดจาก a ไป b นิ้วโป้งชี้ไปทาง a × b
⟨1, 0, 0⟩ × ⟨0, 1, 0⟩ = ?
i × j = k: ⟨0·0 − 0·1, 0·0 − 1·0, 1·1 − 0·0⟩ = ⟨0, 0, 1⟩ นิ้วกวาดจาก x ไป y นิ้วโป้งชี้ขึ้นตามแกน z ส่วน ⟨0, 0, −1⟩ คือ j × i ลำดับกลับกัน, 0 คือ dot product ไม่ใช่ cross product และ ⟨1, 1, 0⟩ คือเอามาบวกกัน
เส้นตรง: จุดหนึ่งจุด กับทิศที่เดินไป
เบราว์เซอร์นี้วาดภาพสามมิติไม่ได้ (ไม่มี WebGL)
เส้นเดียวกันเขียนได้สามแบบ: แบบเวกเตอร์ r(t) = ⟨1, 2, −1⟩ + t⟨1, −1, 3⟩, สมการอิงตัวแปรเสริม (parametric) x = 1 + t, y = 2 − t, z = −1 + 3t และเมื่อแก้หา t ได้ สมการสมมาตร (symmetric) (x − 1)/1 = (y − 2)/(−1) = (z + 1)/3 เส้นสองเส้นขนานกันเมื่อเวกเตอร์ทิศของมันเป็นพหุคูณกัน
ระนาบ: ทุกจุดที่ตั้งฉากกับลูกศรเดียว
เบราว์เซอร์นี้วาดภาพสามมิติไม่ได้ (ไม่มี WebGL)
ระนาบที่มี normal ⟨a, b, c⟩ และผ่าน P₀(x₀, y₀, z₀) คือ a(x − x₀) + b(y − y₀) + c(z − z₀) = 0 หรือ ax + by + cz = d ถ้าโจทย์ให้สามจุดแทน normal ก็คือ cross product ของสองก้าวระหว่างจุดเหล่านั้น ซึ่งตั้งฉากกับทั้งสองก้าว จึงตั้งฉากกับระนาบ
หาที่ผิด: ระนาบที่ผ่าน P(1, 0, 0), Q(0, 2, 0), R(0, 0, 3) คือ …
PQ = ⟨−1, 2, 0⟩, PR = ⟨−1, 0, 3⟩, n = PQ × PR = ⟨2·3 − 0·0, 0·(−1) − (−1)·3, (−1)·0 − 2·(−1)⟩ = ⟨6, 3, 2⟩ และ d = n·P = 6 ตรวจ: แทน Q ได้ 6 แทน R ได้ 6 ส่วน 6x − 3y + 2z คือเครื่องหมายตัวกลางผิด, = 0 คือลืม d (ระนาบนั้นผ่านจุดกำเนิด ไม่ผ่าน P) และ x + 2y + 3z คือเอาตัวเลขของจุดมาใช้ ซึ่งไม่ใช่ normal เลย
พื้นผิวที่ต้องจำหน้าตาได้จากเครื่องหมาย
เบราว์เซอร์นี้วาดภาพสามมิติไม่ได้ (ไม่มี WebGL)
สูตรทั้งหมดในที่เดียว
- จาก P ไป Q: \overrightarrow{PQ}=Q-P
- ความยาว และเวกเตอร์หนึ่งหน่วย: |v|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2},\quad \hat u=\dfrac{v}{|v|}
- dot product และมุม: a\cdot b=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3=|a||b|\cos\theta
- cross product: a\times b=\begin{vmatrix} i & j & k\\ a_1 & a_2 & a_3\\ b_1 & b_2 & b_3\end{vmatrix},\quad |a\times b|=|a||b|\sin\theta
- ปริมาตรกล่อง: V=|c\cdot(a\times b)|
- เส้นตรง: r(t)=P+t\,v,\quad \dfrac{x-x_0}{v_1}=\dfrac{y-y_0}{v_2}=\dfrac{z-z_0}{v_3}
- ระนาบ: n\cdot(r-P_0)=0\ \Leftrightarrow\ ax+by+cz=d
ทุกสูตรมีวิธีทำทีละบรรทัดพร้อมเสียงอธิบายในหน้าดูวิธีทำ และลองทำเองได้ในหน้าฝึกโจทย์ ดูวิธีทำ →