LearnTree Faculty of Engineering at Kamphaeng Saen, KPS Faculty of Engineering at KPS
คณิตศาสตร์วิศวกรรม 1 · บทที่ 1 · ดูคลิป 1 นาที แล้วลองเล่นเอง

ลิมิต

ฟังก์ชันกำลังจะไปที่ไหน — แม้จะไปไม่ถึงที่นั่นเลย

แอนิเมชันโดย LearnTree ด้วย Manim (เครื่องมือเดียวกับที่ 3Blue1Brown ใช้)
ลองบีบเอง ↓ ฟังบทบรรยายเต็ม ไปฝึกโจทย์

ลองก่อน 1 นาที

ก่อนจะอธิบายอะไร ลองตอบดูก่อน เดาก็ได้ ตอบว่า “ยังไม่รู้” ก็ได้

limx→3 x² − 9x − 3 = ?

ปริศนาของจุดที่หายไป

ลองดูฟังก์ชันนี้ ซึ่งมาจากชีทของวิชา

f(x) = x² − 3x − 4x² − 16

แทน x = 4 ลงไปตรง ๆ ข้างบนได้ 16 − 12 − 4 = 0 ข้างล่างได้ 16 − 16 = 0 ได้ 0/0 ซึ่งไม่ใช่ตัวเลข — f(4) ไม่มีค่า

ทบทวน อะไรคิดก่อน: วงเล็บและลำดับการคำนวณ

ยกกำลังผูกแน่นที่สุด ตามด้วย × และ ÷ แล้วจึง + และ − ส่วนวงเล็บ — และเส้นเศษส่วน ซึ่งเป็นวงเล็บที่มองไม่เห็น — รวมสิ่งที่อยู่ข้างในเป็นก้อนเดียว ภาพข้างล่างวาดแต่ละก้อนเป็นกล่อง กล่องในสุดคิดก่อนเสมอ เลือกนิพจน์ แล้วคิดทีละชั้น

เวลากดเครื่องคิดเลข ใส่วงเล็บครอบทั้งเศษและทั้งส่วน: (x^2-3x-4)/(x^2-16) ถ้าไม่ใส่ เครื่องจะคิด 4/x² แยกเป็นก้อนของมันเอง

เรียนเพิ่ม: Khan Academy — ลำดับการดำเนินการเบื้องต้น (พากย์ไทย) · Khan Academy Thailand — พีชคณิตพื้นฐาน ทั้งชุด

แต่ถ้าวาดกราฟ จะเห็นเส้นโค้งเรียบ ๆ เส้นเดียว ที่ขาดหายไปหนึ่งจุด ตรง x = 4 พอดี (วงกลมโปร่งในภาพ — ในตำราเรียกว่า removable discontinuity หรือความไม่ต่อเนื่องที่แก้ได้) คำถามที่น่าสนใจไม่ใช่ว่าที่จุดนั้นมีอะไร — เพราะไม่มีอะไรเลย — แต่คือ ถ้าเราเดินตามเส้นกราฟเข้าไปหาจุดที่หายไป ความสูงกำลังจะไปที่เท่าไร

แถบฟ้าบนแกน x: input — ทุกค่า x ที่อยู่ห่างจาก 4 ไม่เกินระยะหนึ่ง แถบเหลืองบนแกน y: ค่าที่ input เหล่านั้นได้ออกมา — output f(x)
  1. ลากปุ่มกลมสีฟ้า (หรือลากที่ใดก็ได้บนกราฟ) เข้าหา 4 — input บีบเข้ามา
  2. ดูแถบเหลือง: output บีบเข้าหา 0.625 ตาม และเมื่อเล็กมากกราฟจะซูมเข้าไปทีละ 10 เท่า
  3. กด “บีบเข้าไป” เพื่อดูจนสุดทาง แล้วลองติ๊ก “ทำให้กราฟกระโดด” แล้วบีบอีกครั้ง
เส้นโค้งรอบ ๆ x = 4 ที่ขาดไปหนึ่งจุด กับหน้าต่างรอบจุดนั้น: ค่า x ในหน้าต่าง และความสูงที่ได้ย่อหน้าต่างด้วย ◀ ▶ (หรือลาก) แล้วดูความสูงถูกบีบเข้าหาค่าเดียวการบีบแบบนี้คือความหมายของลิมิต: ความสูงวิ่งเข้าหา 0.625 ทั้งที่จุดนั้นเองหายไป

แก่นของมันคือ: เราทำให้ output ใกล้ 0.625 แค่ไหนก็ได้ ขอแค่เลือก input ให้ใกล้ 4 พอ คำสัญญานี้ที่รักษาได้ไม่ว่าจะบีบแน่นแค่ไหน คือความหมายของ “ลิมิตเท่ากับ 0.625” พอดี ส่วนกราฟที่กระโดด คำสัญญานี้พัง — output ไม่มีวันอยู่ในแถบที่บางกว่าขนาดของการกระโดด

ยิ่งเข้าใกล้ ค่า f(x) ทั้งสองฝั่งยิ่งเบียดเข้าหา 0.625 หรือ 5/8 ต่อให้ซูมเข้าไปเป็นหมื่นเท่า เส้นโค้งก็ยังเป็นเส้นโค้ง จุดที่หายไปก็ยังหายอยู่ และความสูงก็ยังมุ่งไปที่เดิม นี่คือทั้งหมดที่สัญลักษณ์นี้พยายามบอก

limx→4 f(x) = 58

“เมื่อ x เข้าใกล้ 4 (แต่ไม่เท่ากับ 4) ค่าของ f(x) เข้าใกล้ 5/8”

ถ้ามีคนเติมจุดที่หายไปนั้น โดยกำหนดว่า f(4) = 7 ลิมิตเมื่อ x → 4 จะเปลี่ยนไหม

ทุกข้อเริ่มเหมือนกัน: แทนค่าก่อน แล้วอ่านผลให้เป็น

โจทย์ลิมิตในข้อสอบหน้าตาต่างกัน แต่ขั้นแรกเหมือนกันทุกข้อ คือแทนค่าลงไปแล้วดูว่าได้อะไร ผลมีได้แค่สี่แบบ และแต่ละแบบบอกว่าต้องทำอะไรต่อ ลองกดโจทย์ด้านล่างแล้วดูว่าแต่ละข้อไปทางไหน

    โจทย์เจ็ดข้อ ข้อละแบบที่จะเจอ กับผลสี่แบบที่การแทนค่าให้ได้กดทีละข้อ ดูว่าแทนค่าแล้วได้อะไร และกิ่งไหนสว่างขึ้นการอ่านผลคือขั้นที่คนพลาดข้ามบ่อยที่สุด: 0/0 แปลว่าต้องจัดรูป ได้ตัวเลขแปลว่าจบ

    สองฝั่งต้องตรงกัน

    “เข้าใกล้” ทำได้สองทาง: จากทางซ้าย (เขียน x → a⁻) และจากทางขวา (x → a⁺) ลิมิตจะมีค่าได้ก็ต่อเมื่อ ทั้งสองทางไปจบที่ค่าเดียวกัน ลองดูกราฟที่ “กระโดด” ตรง x = 2

    กราฟที่กระโดดที่ x = 2 โดยเข้าใกล้จากทางซ้ายและทางขวาเลื่อนเข้าหา x = 2 จากแต่ละข้าง แล้วอ่านความสูงทั้งสองลิมิตมีอยู่เมื่อทั้งสองข้างวิ่งเข้าหาค่าเดียวกันเท่านั้น ตรงนี้ไม่ตรงกัน ที่จุดกระโดดจึงไม่มีลิมิต

    กราฟที่กระโดดแบบนี้ไม่ใช่เรื่องแปลก — สวิตช์ไฟที่เพิ่งเปิด ค่าส่งของที่คิดเป็นขั้น หรือฟังก์ชันที่กำหนดเป็นช่วง ๆ ในโจทย์สอบ ล้วนมีจุดแบบนี้ วิธีตรวจคือ ใช้สูตรของช่วงซ้ายหาลิมิตซ้าย ใช้สูตรของช่วงขวาหาลิมิตขวา แล้วเทียบกัน

    0/0 ไม่ใช่คำตอบ แต่เป็นคำใบ้

    กลับมาที่ฟังก์ชันแรก การที่ทั้งข้างบนและข้างล่างเป็นศูนย์ที่ x = 4 พร้อมกัน ไม่ใช่เรื่องบังเอิญ มันบอกเราว่า (x − 4) ซ่อนอยู่ในทั้งสองส่วน — ลองหามันดู

    ทบทวน แยกตัวประกอบ และทำไมตัดได้แต่ตัวประกอบ ห้ามตัดพจน์

    แยกตัวประกอบ x² + bx + c

    หาสองจำนวนที่คูณกันได้ c และบวกกันได้ b สำหรับ x² − 3x − 4 คือคูณกันได้ −4 และบวกกันได้ −3 และ 0/0 ก็ใบ้ไว้แล้ว: ข้างบนเป็น 0 ที่ x = 4 แปลว่า (x − 4) ต้องเป็นตัวประกอบตัวหนึ่ง — แทน a แล้วได้ 0 เมื่อไร (x − a) เป็นตัวประกอบเมื่อนั้น

    ข้างล่างเป็นผลต่างกำลังสอง a² − b² = (a − b)(a + b): x² − 16 = x² − 4² = (x − 4)(x + 4) และตรวจการแยกตัวประกอบได้เสมอด้วยการคูณกลับ: (x + 1)(x − 4) = x² − 4x + x − 4 = x² − 3x − 4

    ตัดได้เฉพาะตัวประกอบ ห้ามตัดพจน์

    ตัดได้ก็ต่อเมื่อสิ่งนั้นคูณอยู่กับทั้งเศษทั้งก้อนและทั้งส่วนทั้งก้อน ลองกับตัวเลข: 2 × 32 × 5 = 35 ถูก แต่ 2 + 32 + 5 = 57 ไม่ใช่ 35 ดังนั้นใน x + 1x + 4 ห้ามตัด x ทิ้ง ถ้าไม่แน่ใจเมื่อไร เช็กด้วยตัวเลข: แทน x ค่าเดียวกันทั้งก่อนและหลังตัด

    ข้อไหนตัดถูก

    เรียนเพิ่ม: Khan Academy — แยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสองเป็น (x+a)(x+b) (ภาษาอังกฤษ ซับไทย) · Khan Academy Thailand — พีชคณิต I (หัวข้อการแยกตัวประกอบ)

    1 x² − 3x − 4x² − 16 แทน 4 ได้ 0/0 — ยังไม่รู้คำตอบ
    2 (x − 4)(x + 1)(x − 4)(x + 4) แยกตัวประกอบ — เจอ (x − 4) ทั้งบนและล่าง
    3 x + 1x + 4 ตัดทิ้งได้ เพราะระหว่างที่เข้าใกล้ x ไม่เคยเท่ากับ 4
    4 4 + 14 + 4 = 58 ตอนนี้แทน 4 ได้แล้ว — และตรงกับที่กราฟบอก

    สังเกตว่า (x + 1)/(x + 4) คือฟังก์ชันเดียวกันทุกจุด ยกเว้นที่ x = 4 — จุดที่หายไปในกราฟคือร่องรอยเดียวของตัวประกอบที่ถูกตัดไป ถ้า 0/0 มาจากรากที่สอง ให้คูณด้วย conjugate แทน แนวคิดเดียวกัน: ทำให้ตัวที่เป็นศูนย์โผล่ออกมา แล้วตัดทิ้ง

    ตาคุณแล้ว ช่วยน้อยลงทีละข้อ

    ข้อ 2 · มีบรรทัดหายไปหนึ่งบรรทัด limx→2 x² − 4x² − x − 2

    1. แทน 2: (4 − 4)/(4 − 2 − 2) = 0/0 จึงต้องจัดรูปก่อน
    2. ?
    3. x + 2x + 1 → 43

    บรรทัดไหนใส่ตรง ? ได้

    ข้อ 3 · ทำเองทั้งข้อ limx→−1 x² + 3x + 2x² − 1 = ?

    หาที่ผิด มีคนทำข้อนี้ limx→1 x² − 4x + 3x − 1 แบบนี้

    1. แทน 1: (1 − 4 + 3)/(1 − 1) = 0/0
    2. (x + 3)(x − 1)x − 1 = x + 3
    3. แทน 1: 1 + 3 = 4

    เมื่อ x วิ่งไปอนันต์

    คราวนี้ x ไม่ได้เข้าใกล้ตัวเลข แต่โตไปเรื่อย ๆ ไม่มีที่สิ้นสุด แทน “∞” ลงไปตรง ๆ ไม่มีความหมาย จึงถามคำถามเดิม: ความสูงกำลังจะไปที่ไหน ลองเลื่อน x ไปทางขวาไกล ๆ แล้วดู

    limx→∞ 3x² − x + 52x² + 4
    กราฟเมื่อ x โตขึ้น (หน้าต่างขยายตาม) เส้น y = 1.5 และแต่ละพจน์หลังหารทั้งบนและล่างด้วย x²ดัน x จาก 1 ไปถึง 1000 แล้วดู 1/x, 5/x² และ 4/x² หดจนแทบเป็นศูนย์สิ่งที่เหลือคือ 3/2: กำลังสูงสุดเป็นตัวตัดสิน พจน์อื่นจางหายไป

    นี่คือวิธีทั้งหมด: หารทุกพจน์ทั้งบนและล่างด้วยกำลังสูงสุดของตัวส่วน พจน์ที่เป็นตัวเลขส่วนกำลังของ x จะเข้าใกล้ 0 สิ่งที่เหลือคือคำตอบ และเทียบกำลังสูงสุดได้เป็นทางลัด: ข้างบนกำลังน้อยกว่า → 0 · เท่ากัน → สัมประสิทธิ์หน้าบนส่วนหน้าล่าง · ข้างบนมากกว่า → ±∞

    กับดักเรื่องราก √(x²) คือ |x| ไม่ใช่ x เมื่อ x → +∞ ก็คือ x แต่เมื่อ x → −∞ มันคือ −x ดังนั้น limx→−∞ √(x² + 1) / x = −1 ไม่ใช่ 1 — เจอรากกับ x → −∞ ให้ดึงเครื่องหมายออกก่อน

    ลองเอง: limx→∞ 5x³ + 22x³ − x = ?

    ทำไม sin x / x ถึงเข้าใกล้ 1

    ลิมิตที่ใช้บ่อยที่สุดในบทตรีโกณคือ limx→0 sin x / x = 1 โดย x เป็น เรเดียน ท่องจำได้ แต่เห็นมันได้ด้วย — ก่อนอื่น มาดูว่าเรเดียนคืออะไร

    เรเดียน คือความยาวตามขอบวงกลม

    ลองนึกถึงวงกลมรัศมี 1 เริ่มที่จุด (1, 0) แล้วเดินตามขอบวงกลม ระยะทางที่เดินไปคือมุมในหน่วยเรเดียน เดินหนึ่งในสี่รอบไปถึง (0, 1) ได้ π/2 ≈ 1.57 ครึ่งรอบไปถึง (−1, 0) ได้ π ≈ 3.14 และครบรอบได้ 2π ≈ 6.28 ถ้าวัดเป็นองศา จุดเดียวกันคือ 90°, 180° และ 360° ดังนั้น π เรเดียน = 180° และ 1 เรเดียน ≈ 57.3° ลองลากจุดไปรอบ ๆ แล้วดูตัวเลขทั้งสองแบบ

    วงกลมรัศมี 1 กับจุดบนวงกลม ระยะที่เดินไปตามขอบวงคือมุมในหน่วยเรเดียนลากจุดไปรอบ ๆ แล้วเทียบเรเดียนกับองศาแคลคูลัสวัดมุมเป็นความยาว (เรเดียน) — ผลต่อไป sin x / x → 1 จริงเฉพาะเมื่อเป็นเรเดียน

    กลับมาที่ลิมิต

    บนวงกลมเดียวกัน มุม θ สร้างส่วนโค้งยาว θพอดี ส่วนความสูงของจุดคือ sin θ ลองลากจุด (ได้ถึง 90° ซึ่งคือปลายของหนึ่งในสี่วงกลม) แล้วเทียบความยาวทั้งสอง

    ส่วนโค้งยาว θ กับเส้นตั้งยาว sin θ บนวงกลมเดียวกันลดมุมลง (และติ๊ก “ซูมตามมุม”) แล้วดูสองความยาวเกือบเท่ากันจึงได้ sin θ / θ → 1 เมื่อ θ → 0 — ข้อเท็จจริงที่อยู่เบื้องหลัง derivative ของ sin x

    เมื่อมุมใหญ่ ส่วนโค้งยาวกว่าเส้นตั้งอย่างเห็นได้ชัด แต่ลองหรี่มุมลงแล้วติ๊กซูมตาม: ส่วนโค้งเหยียดตรงขึ้นเรื่อย ๆ จนแทบซ้อนทับกับเส้นตั้ง อัตราส่วนของความยาวทั้งสองจึงเข้าใกล้ 1

    ทำไมต้องเป็นเรเดียน เหตุผลข้างบนเทียบมุมกับความยาว และมีแต่หน่วยเรเดียนที่ตัวเลขของมุมคือความยาว ลองติ๊ก “วัดมุมเป็นองศาแทน” ภาพเดียวกันจะให้ sin(θ°) / θ → π/180 ≈ 0.01745 ไม่ใช่ 1 นี่คือเหตุผลที่แคลคูลัสใช้เรเดียนเสมอ สูตรทุกตัวที่สร้างจากลิมิตนี้ — เช่น derivative (อนุพันธ์) ของ sin x คือ cos x — เป็นจริงในเรเดียน ถ้าใช้องศาจะต้องคูณ π/180 เพิ่มทุกครั้ง

    ต่อเนื่อง: วาดได้โดยไม่ยกปากกา

    ฟังก์ชัน f ต่อเนื่องที่ x = a เมื่อครบสามข้อ:

    1. f(a) หาค่าได้ — ไม่มีจุดที่หายไป
    2. limx→a f(x) หาค่าได้ — สองฝั่งไปที่เดียวกัน ไม่กระโดด
    3. limx→a f(x) = f(a) — จุดอยู่ตรงที่เส้นกราฟมุ่งไปพอดี

    ฟังก์ชันแรกของเราตกข้อ 1 (มีจุดที่หายไป) กราฟกระโดดตกข้อ 2 และถ้าเติม f(4) = 7 ตรงจุดที่หายไป ก็ตกข้อ 3 — สามข้อนี้คือสามวิธีที่ “การวาดโดยไม่ยกปากกา” จะพังได้

    อีกข้อ ยากขึ้นอีกนิด

    limx→3 x² − 9x² − x − 6 = ?

    พร้อมแล้วไปต่อ: ดูวิธีทำแต่ละแบบบนกระดาน แล้วลองทำเองหนึ่งข้อหลังแต่ละแบบ ทั้งชุดในครั้งเดียว

    ▶ เล่นต่อเนื่องทั้งชุด
    ลึกขึ้นอีกขั้น: “เข้าใกล้” แปลว่าอะไรกันแน่ (นิยาม ε–δ)

    คำว่า “เข้าใกล้” ฟังดูชัด แต่นักคณิตศาสตร์ต้องการคำที่ตรวจได้ เขาจึงเปลี่ยนเป็นเกม: คุณบอกมาว่าอยากให้ f(x) อยู่ใกล้ 5/8 แค่ไหน — เรียกว่า ε แล้วผมต้องหาให้ได้ว่า x ต้องอยู่ห่าง 4 ไม่เกินเท่าไร — เรียกว่า δ ถ้าผมหา δ ได้ทุกครั้ง ไม่ว่าคุณจะขอ ε เล็กแค่ไหน ลิมิตก็คือ 5/8

    แถบสีเหลือง (อยากให้ความสูงใกล้ 5/8 แค่ไหน เรียกว่า ε) กับแถบสีฟ้า (x ต้องอยู่ใกล้ 4 แค่ไหน เรียกว่า δ)ลด ε ด้วย ◀ ▶ แล้วดู δ สีฟ้าหดลง เพื่อให้เส้นโค้งยังอยู่ในแถบสีเหลืองมันเปลี่ยนคำว่า “เข้าใกล้” ให้เป็นคำสัญญาที่ตรวจได้: ทุก ε มี δ เสมอ นี่คือนิยามที่แม่นยำของลิมิต

    สำหรับฟังก์ชันนี้ |f(x) − 5/8| = 3|x − 4| / (8|x + 4|) จึงเลือก δ = 64ε / (3 + 8ε) ได้เสมอ — แถบสีฟ้าคือ δ ที่สูตรนี้ให้ และเส้นกราฟในแถบนั้นไม่หลุดออกจากแถบสีเหลืองเลย

    ดูฉบับเต็ม: ต้นฉบับที่บทนี้ได้แรงบันดาลใจ

    บทนี้ได้แรงบันดาลใจจากซีรีส์ Essence of Calculus ของ 3Blue1Brown (Grant Sanderson) นี่คือสองตอนที่เกี่ยวกับลิมิตมากที่สุด พร้อมสรุปว่าแต่ละตอนอธิบายอะไร และควรกระโดดไปดูตรงไหน

    วิดีโอเป็นของ 3Blue1Brown ฝังจาก YouTube — ดูทั้งซีรีส์ได้ที่ 3blue1brown.com