Derivativeอนุพันธ์
อะไรสักอย่างกำลังเปลี่ยนเร็วแค่ไหน — ณ ขณะเดียว
ความเร็ว ณ ขณะหนึ่ง: ปริศนาที่ฟังดูขัดกันเอง
หน้าปัดรถบอกว่า 60 กม./ชม. ตอนนี้ แต่ความเร็วคือระยะทางหารด้วยเวลา ซึ่งต้องมีสองจังหวะ: ไปได้ไกลแค่ไหนระหว่างตอนนั้นกับตอนนี้ ณ ขณะเดียวรถเคลื่อนที่ 0 เมตรใน 0 วินาที — ได้ 0/0 อีกแล้ว แล้วหน้าปัดกำลังบอกอะไร
รถคันหนึ่งออกตัวจากหยุดนิ่ง ผ่านไป t วินาทีวิ่งได้ s = 2t² เมตร ลองดูที่ t = 3 วินาที กับช่วงเวลาสั้น ๆ ต่อจากนั้น Δt ความเร็วเฉลี่ยในช่วงนั้นคือระยะที่ขึ้นหารด้วยระยะที่ไปบนกราฟ
ยิ่งบีบช่วงเวลา ความเร็วเฉลี่ยยิ่งนิ่ง: 14, 12.2, 12.02, 12.002 … มุ่งไปที่ 12 m/s นั่นคือค่าบนหน้าปัดที่ t = 3 วินาที เราไม่เคยเอา 0 หาร 0 แต่ถามว่าค่าเฉลี่ยเข้าใกล้อะไร — ลิมิต เหมือนในบทที่แล้วทุกอย่าง และตัวเลขนี้เองคือ derivative ของ s ที่ t = 3 เขียนว่า ds/dt
ในช่วง 3 ถึง 3.001 วินาที ความเร็วเฉลี่ยคือ 12.002 m/s หน้าปัดที่ 3 วินาทีพอดีแสดงเท่าไร
12.002 ยังเป็นค่าเฉลี่ยในช่วงหนึ่งอยู่ ความเร็ว ณ ขณะนั้นคือค่าที่ค่าเฉลี่ยมุ่งไปเมื่อบีบช่วงเข้ามา: 12 (ส่วน 18 เมตรใน 3 วินาทีคือค่าเฉลี่ยตั้งแต่ออกตัว ตอนแรก ๆ รถยังช้ากว่านี้)
ซูมเข้าไป: เส้นโค้งเรียบ ๆ จะกลายเป็นเส้นตรง
คราวนี้ใช้เส้นโค้งจากชีทของวิชา f(x) = 2x² − 3x + 6 ซึ่งโค้งอยู่ทุกจุด “ความชัน” ของมันจึงฟังดูไม่มีความหมาย ลองซูมเข้าไปที่จุดหนึ่งแล้วดู: ความโค้งค่อย ๆ หายไป จนสิ่งที่เห็นคือเส้นตรง derivative ที่จุดนั้นก็คือความชันของเส้นตรงที่เห็น
ที่ ×1000 เส้นโค้งโค้งไม่ถึงหนึ่งพิกเซลตลอดทั้งจอ เส้นตรงนั้นมีชื่อว่าเส้นสัมผัส (tangent line) ที่จุดนั้น ลองย้ายจุด ความชันจะเปลี่ยน — ชันลงทางซ้าย แบนราบแถว x = 0.75 และชันขึ้นทางขวา
จากเส้นตัดสู่เส้นสัมผัส: นิยามของ derivative
ทบทวน ความชันของเส้นตรง: ระยะขึ้นหารระยะไป
ระหว่างสองจุดบนเส้นตรง ความชันคือระยะที่ขึ้น หารด้วยระยะที่ไปทางขวา: ΔyΔx = y₂ − y₁x₂ − x₁ ผ่านจุด (1, 2) และ (3, 8): 8 − 23 − 1 = 3 แปลว่าไปทางขวา 1 ขึ้น 3 เส้นที่ลงมีความชันติดลบ เส้นแบนราบมีความชัน 0 และใน y = mx + c ตัว m คือความชัน
ความชันคืออัตรา ถ้าเส้นนั้นเป็นระยะทาง (เมตร) เทียบกับเวลา (วินาที) ความชันมีหน่วยเมตรต่อวินาที คือความเร็ว อัตราทุกแบบที่เคยใช้ — กม./ชม. บาทต่อกิโล ลิตรต่อนาที — คือความชันทั้งนั้น
เรียนเพิ่ม: OpenStax College Algebra 2e, §4.1 Linear Functions (ภาษาอังกฤษ)
จะคำนวณความชันนั้น ทำแบบที่ชีทวาดไว้: เอาจุดที่ x กับจุดที่สองถัดไปอีกนิดที่ x + h เส้นที่ผ่านทั้งสองจุด — เส้นตัด (secant) — มีความชันเป็นระยะขึ้นหารระยะไป f(x + h) − f(x)h แล้วบีบ h: จุดที่สองเลื่อนเข้ามา และเส้นตัดค่อย ๆ หมุนไปทับเส้นสัมผัส ลากบนกราฟเพื่อย้ายจุดแรก
เขียนได้อีกแบบว่า dy/dx, y′ หรือ df/dx — ในชีทให้ไว้ครบทั้งสี่แบบ ถ้าแทน h = 0 ตรง ๆ จะได้ 0/0: จุดที่หายไปจากบทลิมิต แต่คราวนี้อยู่ที่ h = 0
ตัวอย่างในชีท ทำจากนิยาม
ทบทวน กระจาย (x + h)² — และทำไมไม่ใช่ x² + h²
(x + h)² คือสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านยาว x + h ตัดตามแนว x กับ h จะได้จัตุรัสใหญ่ x² จัตุรัสเล็ก h² และแถบยาวอีกสองแถบ x·h ดังนั้น (x + h)² = x² + 2xh + h² ลืมสองแถบนี้คือพลาดที่เจอบ่อย — เช็กด้วยตัวเลข: (3 + 1)² = 16 แต่ 3² + 1² = 10
ในชีทคูณด้วย 2 ต่อ: 2(x + h)² = 2x² + 4xh + 2h² และจัตุรัสรูปนี้จะกลับมาอีกครั้งในบทนี้ — มันคือที่มาของการ differentiate x² แล้วได้ 2x
เรียนเพิ่ม: Khan Academy — การยกกำลังสองทวินามในรูป (x+a)² (ซับไทย) · OpenStax §1.4 (ภาษาอังกฤษ)
จากชีท “Math 1: อนุพันธ์1” หน้า 11 — ที่ x = 1 ความชันคือ 4(1) − 3 = 1 ตรงกับรูปเส้นตัดข้างบน
เมื่อ f′(x) = 4x − 3 เส้นสัมผัสแบนราบที่ x เท่าไร
แบนราบคือความชัน 0: 4x − 3 = 0 ได้ x = 3/4 — จุดต่ำสุดของเส้นโค้ง การหาจุดสูงสุดต่ำสุดด้วยการแก้ f′(x) = 0 คือเนื้อหาทั้งหมดของบทถัดไป
f′ ก็เป็นฟังก์ชันตัวหนึ่ง
ทุก x มีความชันของตัวเอง ความชันทั้งหมดจึงเป็นฟังก์ชันใหม่อีกตัว คือ f′ ลองเลื่อนไปตามเส้นโค้ง: ความชันที่แต่ละจุดจะถูกวางเป็นจุดบนกราฟล่าง ช่วงที่เส้นโค้งลง จุดอยู่ใต้ศูนย์ และที่ก้นของเส้นโค้งเป็นศูนย์พอดี
จุดทั้งหมดเรียงเป็นเส้นตรง 4x − 3 — สูตรเดียวกับที่นิยามให้ เส้นโค้งที่มี x² ได้ derivative ที่มีแค่ x: กำลังลดลงหนึ่ง และรูปแบบนี้คือเรื่องถัดไป
ทางลัดที่มองเห็นได้: กฎยกกำลัง
หา derivative จากลิมิตทุกครั้งช้าเกินไป นี่คือเหตุผลที่ differentiate x² ได้ 2x โดยไม่ต้องกระจายพจน์: มอง x² เป็นพื้นที่ของจัตุรัสด้านยาว x แล้วเพิ่มด้านไปอีกนิด dx พื้นที่ที่งอกออกมาคือแถบบาง ๆ สองแถบ แถบละ x·dx กับมุมเล็ก ๆ อีกหนึ่งชิ้น dx²
เอาพื้นที่ที่งอกหารด้วย dx ได้ 2x + dx เมื่อ dx เล็กลงเรื่อย ๆ มุมเล็กนั้นไม่มีผลแล้ว เหลือ 2x ลูกบาศก์ก็เหมือนกัน แต่งอกสามหน้า: differentiate x³ ได้ 3x² และโดยทั่วไป — กฎในชีทหน้า 13:
ยกกำลังลงมาคูณข้างหน้า แล้วลดกำลังลงหนึ่ง derivative ของค่าคงที่โดด ๆ คือ 0 (เพราะไม่เคยเปลี่ยน) ค่าคงที่ที่คูณอยู่ติดไปด้วย และผลบวก differentiate ทีละพจน์ได้ ดังนั้น differentiate 2x² − 3x + 6 ได้ 2·2x − 3 + 0 = 4x − 3 — คำตอบเดียวกับที่นิยามใช้สี่ขั้นกว่าจะได้
หา derivative ของ x⁵ − 4x² + 7
x⁵ → 5x⁴, −4x² → −4·2x = −8x และค่าคงที่ 7 ไม่เคยเปลี่ยน derivative ของมันจึงเป็น 0
ชีทส่วนที่เหลือเพิ่มอะไรอีก
ทั้งหมดคือแนวคิดเดียวกัน — ความชันของเส้นตรงที่เห็นเมื่อซูมเข้าไป — กับฟังก์ชันทุกแบบ ตามลำดับในชีท “Math 1: อนุพันธ์1”:
- sin, cos, tan — derivative ของ sin x คือ cos x ซึ่งการพิสูจน์ใช้ lim sin h / h = 1 จากบทลิมิต — และนี่คือเหตุผลที่ต้องใช้เรเดียน ดู: 3Blue1Brown ตอนที่ 3 นาทีที่ 12:36 (ซับไทย)
- eˣ, aˣ, ln x — eˣ คือฟังก์ชันเดียวที่ differentiate แล้วได้ตัวเอง ดู: 3Blue1Brown ตอนที่ 5 (ซับไทย)
- กฎลูกโซ่ — ฟังก์ชันซ้อนฟังก์ชัน: คูณอัตราต่อกัน กฎผลคูณและผลหาร — ผลคูณคือสี่เหลี่ยมที่ด้านทั้งสองเปลี่ยนพร้อมกัน หน้า 2 ของบทนี้ →
กฎลูกโซ่และกฎผลคูณมีหน้าของตัวเอง ส่วน sin, cos และ eˣ อยู่ในหน้านั้นในฐานะชิ้นส่วนที่เอามาประกอบกัน
ดูฉบับเต็ม: ต้นฉบับที่บทนี้ได้แรงบันดาลใจ
ปริศนาหน้าปัดความเร็วและจัตุรัสที่งอกขึ้น มาจากซีรีส์ Essence of Calculus ของ 3Blue1Brown (Grant Sanderson) ตอนที่ 2 และ 3 ทั้งสองตอนมีคำบรรยายภาษาไทย
วิดีโอเป็นของ 3Blue1Brown ฝังจาก YouTube — ดูทั้งซีรีส์ได้ที่ 3blue1brown.com