Math 2 · บทที่ 4 · 35 นาที

แคลคูลัสเวกเตอร์

ทุกจุดบนพื้น ลมพัดไปคนละทาง ถ้าปล่อยใบไม้ลงไป มันจะลอยไปทางไหน และถ้าเดินสวนลม ต้องออกแรงเท่าไร

สนามเวกเตอร์ (vector field) ให้ลูกศรของตัวเองแก่ทุกจุด: F(x, y) = ⟨P, Q⟩ ลูกศรที่ยาวและสว่างกว่าคือแรงกว่า ลม กระแสน้ำ สนามแม่เหล็ก แรงโน้มถ่วง ล้วนเป็นสนามเลือกสนาม เลื่อนจุดเริ่มของใบไม้ แล้วกดเล่นใบไม้ลอยตามลูกศร: วนรอบในสนามหมุนวน พุ่งออกไปในสนามที่กระจายออก และลอยตามน้ำในแม่น้ำ เร็วที่สุดตรงกลางลำน้ำ ทางที่มันลอยไปเรียกว่า เส้นการไหล (flow line) ทุกจุดบนเส้น ลูกศรคือทิศของมัน ส่วนที่เหลือของบทถามว่าสนามทำอะไรตามเส้นทาง ผ่านพื้นผิว และภายในบริเวณ

เริ่มเลย ↓ ← Integral หลายชั้น เปิดกระดานสามมิติ

งานตามทางเดิน: integral ตามเส้นทาง

เดินผ่านลมหมุนวน F = ⟨−y, x⟩ ทุกก้าว ลม (สีเหลือง) ช่วยเท่ากับส่วนที่อยู่ในทิศที่เราเดิน (สีเขียว): F · T รวมส่วนเหล่านี้ตลอดทางได้เป็นงาน คือ integral ตามเส้นทาง (line integral) ∫ F · drเดินรอบวงกลมหนึ่งรอบ แล้วลองครึ่งวงกลม แล้วเส้นตรง สองทางหลังมีจุดเริ่มและจุดจบเดียวกันรอบวงกลม ลมช่วยตลอดทาง ได้ 9π/2 ครึ่งวงกลมได้ 9π/4 ส่วนเส้นตรงที่ตัดผ่านได้ 0 เพราะลมตั้งฉากกับมันทุกจุด เริ่มที่เดียวกัน จบที่เดียวกัน แต่งานไม่เท่ากัน: ในสนามนี้ ทางที่เดินมีผล

ในสนาม F = ⟨−y, x⟩ งานจากการเดินทวนเข็มนาฬิกาหนึ่งรอบบนวงกลมรัศมี 2 คือ …

เมื่อสำคัญแค่จุดเริ่มกับจุดจบ: สนามอนุรักษ์

คราวนี้ F = ⟨y, x⟩ มันคือเกรเดียนต์ของเนินเขา F = ∇φ, φ = xy ลูกศรบนพื้นคือทิศที่ชันขึ้นมากที่สุดของเนินนั้น และทางเดินบนพื้นถูกยกขึ้นไปวางบนเนินเดินจาก A ไป B ทั้งสามเส้นทาง แล้วเทียบงานทุกเส้นทางได้ 2 เท่ากับความสูงของเนินที่ B ลบความสูงที่ A: ∫ ∇φ · dr = φ(B) − φ(A) สนามแบบนี้เรียกว่า สนามอนุรักษ์ (conservative field) และเดินวนกลับที่เดิมได้งานเป็น 0 เสมอ ในระนาบ ตรวจได้ว่าเป็นสนามอนุรักษ์เมื่อ P_y = Q_x (ที่นี่ 1 = 1 ส่วนสนามหมุนวน −1 ≠ 1)

F = ⟨2x, 2y⟩ งานจาก (0, 0) ไป (3, 4) ตามเส้นทางใดก็ได้ คือ …

กรีน: การหมุนเล็ก ๆ ข้างในรวมกันเท่ากับการเดินรอบขอบ

สนาม F = ⟨−y, x²⟩ บนสี่เหลี่ยม 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1 ตัดเป็นช่องเล็ก ๆ แล้วเดินทวนเข็มนาฬิการอบแต่ละช่อง สนามหมุนเราแรงแค่ไหนในช่องหนึ่งคือ Q_x − P_y = 2x + 1 ยิ่งเขียวเข้มยิ่งหมุนแรงเพิ่ม n แล้วกดปุ่มเพื่อตัดเส้นด้านในออกเส้นด้านในทุกเส้นถูกเดินสองครั้ง ไปครั้งกลับครั้ง จึงหักล้างกัน เหลือแค่ขอบนอก นี่คือทฤษฎีบทของกรีน (Green's theorem): ∮ P dx + Q dy = ∬ (Q_x − P_y) dA ที่นี่ทั้งสองข้างได้ 6: เดินรอบขอบหนึ่งรอบ หรือรวมการหมุนข้างใน

ใช้กรีนกับ P = −y/2, Q = x/2 จะได้ พื้นที่ = ½∮(x dy − y dx) สำหรับวงกลมรัศมี 2 ได้ …

ฟลักซ์ออกจากพื้นผิวปิด: ทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์

บนพื้นผิว ส่วนของสนามที่ทะลุผ่าน F · n ตามเวกเตอร์ตั้งฉากชี้ออก เมื่อรวมทั่วพื้นผิวได้เป็นฟลักซ์ (flux) ∬ F · n dS: ปริมาณที่ไหลออก บนทรงกลม ลูกศรสีเขียวไหลออก สีแดงไหลเข้าลองทั้งสามสนาม แล้วเปลี่ยนรัศมีสนามที่พุ่งออกจากจุดกำเนิด ทุกอย่างไหลออก ฟลักซ์คือ 4πr³ สนามที่หมุนรอบแกน z ลูกศรแค่เลื่อนไปตามผิวทรงกลม: 0 สนามที่ขึ้นตรง ๆ ที่ไหลเข้าด้านล่างก็ไหลออกด้านบน: 0 ทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์ (divergence theorem) บอกว่าฟลักซ์ออกเท่ากับการกระจายตัวข้างในรวมกัน ∬ F · n dS = ∭ div F dV โดย div F = P_x + Q_y + R_z ได้ 3 สำหรับสนามแรก และ 0 สำหรับสนามอื่น

ฟลักซ์ของ F = ⟨x, y, z⟩ ที่ออกจากลูกบาศก์ 0 ≤ x, y, z ≤ 1 คือ …

สโตกส์: พื้นผิวใดก็ได้ที่มีขอบเดียวกัน

กรีนที่ยกขึ้นไปในปริภูมิ ลมหมุนวน F = ⟨−y, x, 0⟩ เดินรอบขอบสีเหลืองหนึ่งรอบได้ 9π/2 การหมุนของมันคือเคิร์ล (curl) ∇ × F = ⟨0, 0, 2⟩ คือลูกศรสีเขียวสลับระหว่างแผ่นเรียบกับโดม ทั้งสองมีวงกลมสีเหลืองเป็นขอบทฤษฎีบทของสโตกส์ (Stokes' theorem): ∮ F · dr = ∬ (∇ × F) · n dS สำหรับพื้นผิว S ใดก็ได้ที่มีขอบเป็น C แผ่นเรียบกับโดมได้ 9π/2 เท่ากัน: บนโดม ลูกศรทะลุผ่านแบบเอียง แต่โดมใหญ่กว่า สองอย่างชดเชยกันพอดี จึงเลือกพื้นผิวที่ง่ายที่สุดได้

พื้นผิวสองแผ่นที่ต่างกันมีขอบ C เดียวกัน ฟลักซ์ของ ∇ × F ผ่านทั้งสองแผ่น …

ทั้งบทสรุปได้ในประโยคเดียว: สิ่งที่เกิดขึ้นบนขอบ เท่ากับสิ่งที่เกิดขึ้นข้างในรวมกัน จุดปลายของเส้นทางสำหรับเกรเดียนต์ (4.3) การเดินรอบบริเวณกับการหมุนข้างใน (กรีน สโตกส์) การไหลออกจากพื้นผิวกับการกระจายตัวข้างใน (ไดเวอร์เจนซ์) ล้วนเป็นแนวคิดเดียวกับ ∫ₐᵇ f′ dx = f(b) − f(a) ที่สูงขึ้นทีละหนึ่งมิติ