Math 2 · บทที่ 3 · 30 นาที

Integral หลายชั้น

โดม z = 4 − (x² + y²)/4 ตั้งอยู่บนสี่เหลี่ยม 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2 ใต้โดมมีที่ว่างเท่าไร

integral ชั้นเดียวรวมสี่เหลี่ยมผอม ๆ จนได้พื้นที่ ตรงนี้เรารวมกล่องผอม ๆ จนได้ปริมาตร: ตัดพื้นเป็นสี่เหลี่ยมเล็ก n × n ช่อง ช่องละพื้นที่ ΔA ตั้งกล่องบนแต่ละช่องให้สูงเท่าโดมตรงกลางช่อง แล้วรวมปริมาตรทุกกล่องเลื่อน n ขึ้นจาก 1 แล้วดูผลรวมเข้าใกล้ตัวเลขตัวเดียวตัวเลขนั้นคือ double integral ∬ f dA = 40/3 นิยามของมันก็คือแบบนี้พอดี: ลิมิตของผลรวมกล่องเมื่อกล่องผอมลงเรื่อย ๆ ส่วนที่เหลือของบทคือวิธีคำนวณค่านี้โดยไม่ต้องนับกล่อง

เริ่มเลย ↓ ← integral ตัวแปรเดียว เปิดกระดานสามมิติ

หั่นเป็นแผ่นแทน: integral ชั้นเดียวสองครั้ง ซ้อนกัน

ตัดโดมในแนวตั้งที่ x = k หน้าตัดเป็นแผ่นแบนที่มีพื้นที่ A(k) ซึ่งเป็น integral ตัวแปรเดียว: x ถูกตรึงไว้ จึง integrate เทียบ y อย่างเดียว ได้ A(x) = ∫ f dy = 22/3 − x²/2กดเล่น: แผ่นตัดกวาดจาก x = 0 ถึง x = 2 และปริมาตรด้านหลังรอยตัดค่อย ๆ เต็ม จากนั้นลองตัดที่ y = k แทนการรวมแผ่นทั้งหมดคือ integral ชั้นเดียวอีกครั้ง: ∬ f dA = ∫ A(x) dx = 40/3 ตรงกับกล่อง ตัดทางไหนก็ได้ค่าเดียวกัน ทำจากชั้นในออกมา: integral ชั้นในถือตัวแปรชั้นนอกเป็นค่าคงที่

หาค่า ∫₀² ∫₀¹ (x + y) dy dx

พื้นที่ไม่ใช่สี่เหลี่ยม: อ่านได้ทั้งสองทาง

ตอนนี้พื้นเป็นสามเหลี่ยม 0 ≤ y ≤ x ≤ 2 ใต้ z = xy แถบตั้งที่ตำแหน่ง x เริ่มที่ y = 0 และไปหยุดที่ขอบเอียง y = x ขอบเขตชั้นในจึงขึ้นกับ x ส่วนขอบเขตชั้นนอกเป็นตัวเลขธรรมดาเลื่อนแถบดู แล้วสลับเป็น dx dy: แถบจะนอน เริ่มที่ x = y ไปถึง x = 2บริเวณเดิม คำตอบเดิม คือ 2 เขียนได้สองแบบ เวลาสลับลำดับ ให้วาดบริเวณแล้วอ่านว่าแถบเข้าและออกตรงไหน อย่าสลับขอบเขตเฉย ๆ ขอบเขตชั้นในใช้ตัวแปรชั้นนอกได้ แต่ขอบเขตชั้นนอกต้องเป็นตัวเลขเสมอ

∫₀² ∫₀ˣ f dy dx เมื่อเขียนในลำดับ dx dy คือ …

พื้นที่คือ double integral ของ 1

บริเวณระหว่างพาราโบลา y = 4 − x² กับเส้นตรง y = 2 − x ทั้งสองพบกันที่ 4 − x² = 2 − x คือ x = −1 และ x = 2 ตั้งรูปทรงบนบริเวณนี้ให้สูง 1 พอดี ปริมาตรของมัน (หน่วยลูกบาศก์) ก็คือพื้นที่ของบริเวณเลื่อนแถบจากซ้ายไปขวา ความยาวแถบคือเส้นบนลบเส้นล่าง∬ 1 dA = ∫ (2 + x − x²) dx = 9/2 integral ชั้นในของ 1 ก็คือความยาวแถบ ซึ่งเป็นพื้นที่ระหว่างเส้นโค้งที่เคยทำในตัวแปรเดียวนั่นเอง

พื้นที่ระหว่าง y = x² กับ y = x เท่ากับ …

พื้นกลม: พิกัดเชิงขั้ว และ r ที่งอกออกมา

บนแผ่นกลม ขอบเขตแบบ x และ y เขียนยาก: −√(4 − x²) ≤ y ≤ √(4 − x²) พิกัดเชิงขั้ว (polar) เข้ากับมันพอดี: r จาก 0 ถึง 2 และ θ จาก 0 ถึง 2π แต่ชิ้นในตารางเชิงขั้วไม่ได้เท่ากันทุกชิ้นเลื่อนชิ้นสีเหลืองจากกลางออกไปถึงขอบ แล้วดูด้านโค้งของมันยาวขึ้นแต่ละชิ้นกว้าง Δr และยาวตามส่วนโค้ง r Δθ ดังนั้น ΔA ≈ r Δr Δθ ในพิกัดเชิงขั้ว dA = r dr dθ และการลืม r คือข้อผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุด สำหรับโดมบนแผ่นกลมรัศมี 2: ∫∫ (4 − r²/4) r dr dθ = 14π

integral ใดให้พื้นที่ของแผ่นกลมรัศมี 3

Integral สามชั้น: แท่ง แผ่น แล้วทั้งก้อน

ก้อนใต้ระนาบ x + y + z = 2 ในอัฐภาคที่หนึ่ง: ทรงสี่หน้า integral สามชั้น ∭ f dV รวม f ทั่วทั้งก้อน ถ้า f = 1 จะได้ปริมาตร อ่านจากชั้นในออกมา ทีละชั้นทีละขั้นขั้น 1: แท่งที่ (x, y) จากพื้น z = 0 ขึ้นไปถึงหลังคา z = 2 − x − y ขั้น 2: กวาดแท่งไปตาม y ได้เป็นแผ่น ขั้น 3: กวาดแผ่นไปตาม x∫∫∫ dz dy dx = 4/3 ขอบเขตของแต่ละชั้นใช้ได้เฉพาะตัวแปรของชั้นที่อยู่ข้างนอก: ปลายแท่งใช้ x และ y ขอบแผ่นใช้ x ชั้นสุดท้ายเป็นตัวเลข ถ้า f คือความหนาแน่น integral เดียวกันนี้จะให้มวล

∭ (x + y + z) dV บนลูกบาศก์ 0 ≤ x, y, z ≤ 1 เท่ากับ …

ทรงกระบอกและทรงกลม: กล่องเล็กเป็นทรงโค้ง

พิกัดทรงกระบอกคือพิกัดเชิงขั้วบวกความสูง z ส่วนพิกัดทรงกลมบอกระยะ ρ จากจุดกำเนิด มุม φ ที่วัดลงมาจากแกน z และมุมหมุน θ ถ้าตรึงแต่ละพิกัดไว้ระหว่างสองค่า ชิ้นปริภูมิเล็ก ๆ ที่ได้จะเป็นกล่องทรงโค้งในทรงกระบอก ลองเลื่อน r ออกไป ในทรงกลม เลื่อน ρ ออกไป แล้วเอียง φ เข้าหา 0 หรือ π ใกล้ขั้วเอาสามด้านของกล่องคูณกันได้ dV ทรงกระบอก: dV = r dz dr dθ ทรงกลม: dV = ρ² sin φ dρ dφ dθ กล่องจะเล็กลงใกล้ขั้ว ซึ่ง sin φ มีค่าน้อย ลูกบอลรัศมี a: 4πa³/3

ในพิกัดทรงกลม dV = … dρ dφ dθ

เลือกพิกัดที่ทำให้ขอบเขตเป็นตัวเลขธรรมดา: สี่เหลี่ยมและสามเหลี่ยมใช้ x กับ y แผ่นกลมและทรงกระบอกใช้เชิงขั้วและทรงกระบอก ลูกบอลและกรวยใช้ทรงกลม แล้วอย่าลืมตัวคูณที่งอกออกมา