Math 2 · บทที่ 2 · 30 นาที

อนุพันธ์ย่อย

ยืนอยู่บนเนินเขา z = 4 − (x² + 2y²)/4 ที่จุด (1, 1) ถ้าเดินไปตามแกน x จะขึ้นหรือลง และชันแค่ไหน

ตรึง y ไว้ที่ 1 แล้วเนินเขาจะเหลือเส้นโค้งเส้นเดียว: รอยที่ผนังสีแดง y = 1 ตัดผ่าน ความชันของเส้นนี้ตรงจุดที่ยืนคือ อนุพันธ์ย่อย (partial derivative) ∂f/∂x คือเส้นสัมผัสสีเหลืองเลื่อนจุดด้วย a และ b แล้วลองเดินตามแกน y แทนที่ (1, 1) ถ้าเดินตาม x ความชันคือ −1/2: ลงเขาเบา ๆ ถ้าเดินตาม y ได้ −1 ชันเป็นสองเท่า พื้นผิวไม่ได้มีความชันค่าเดียว แต่มีความชันตามทิศที่เราเดิน อนุพันธ์ย่อยเลือกเดินตามแกนเดียว แล้วตรึงตัวแปรอื่นทั้งหมดไว้

เริ่มเลย ↓ ← มิติ: เส้นระดับ เปิดกระดานสามมิติ

ก่อนอื่น ลิมิตอาจขึ้นกับทางที่เดินเข้าไป

ในตัวแปรเดียว เราเข้าใกล้จุดหนึ่งได้แค่สองข้าง แต่บนระนาบมีทางเข้าได้นับไม่ถ้วน นี่คือ f = xy/(x² + y²) และเส้นสีเหลืองคือทางหนึ่งที่เดินเข้าหา (0, 0): เส้นตรง y = mxกดเล่นเพื่อเดินเข้าไปตามเส้น แล้วเปลี่ยนมุม θ แล้วเดินเข้าไปใหม่ตามแต่ละเส้น ความสูงไม่เปลี่ยนเลย คือ m/(1 + m²) ตลอดทาง แต่เส้นคนละเส้นมาถึงที่ความสูงคนละค่า f จึงไม่มีลิมิตที่ (0, 0) ลิมิตของสองตัวแปรต้องได้ค่าเดียวกันทุกเส้นทาง การหาสองเส้นทางที่ได้ค่าไม่เท่ากันคือวิธีแสดงว่าไม่มีลิมิต

ตามเส้น y = 2x เมื่อ (x, y) → (0, 0) ค่าของ f = xy/(x² + y²) เข้าใกล้ …

วิธีหา: มองตัวแปรอื่นเป็นตัวเลข

อนุพันธ์ย่อยทำแค่ตรึง y ไว้ กฎจึงเป็นอนุพันธ์แบบที่รู้จักแล้ว โดยมอง y เป็นค่าคงที่ สำหรับ f = x²y + y³: x² ใน x²y กลายเป็น 2x และ y ติดตามไปด้วย ส่วน y³ ไม่มี x เลยจึงหายไป ได้ fₓ = 2xy อีกทางหนึ่ง x² เป็นค่าคงที่: f_y = x² + 3y² เนินเขาข้างบน: fₓ = −x/2, f_y = −y ถ้าหาอนุพันธ์ย่อยซ้ำอีกครั้งจะได้อนุพันธ์อันดับสอง และอนุพันธ์ผสมได้เท่ากัน: f_xy = f_yx = 2x สำหรับฟังก์ชันในวิชานี้ ลำดับไม่มีผล

สำหรับ f = x²y + y³ ค่าของ f_y ที่ (1, 2) คือ …

ความชันสองค่ารวมเป็นระนาบ: ระนาบสัมผัส

เส้นสัมผัสสีแดง (ความชัน fₓ) กับสีเขียว (ความชัน f_y) ตัดกันที่จุดของเรา และทั้งสองเส้นกางเป็นระนาบหนึ่ง: ระนาบสัมผัส z = f(a,b) + fₓ(x − a) + f_y(y − b)ลองก้าวออกไป (dx, dy) จุดสีเหลืองคือที่ที่ระนาบบอกว่าเราจะไปอยู่ จุดสีฟ้าคือตำแหน่งจริงบนเนินเขาระยะที่ระนาบสูงขึ้น dz = fₓ dx + f_y dy เรียกว่า ดิฟเฟอเรนเชียล (differential) ถ้าก้าวสั้น ๆ มันเกือบเท่ากับการเปลี่ยนแปลงจริง Δz ระยะห่างหดเร็วกว่าความยาวก้าวมาก วิศวกรใช้วิธีนี้ประมาณความคลาดเคลื่อน: การเปลี่ยนเล็กน้อยของแต่ละตัวแปร คูณด้วยว่าคำตอบไวต่อตัวนั้นแค่ไหน

บนเนินเขา ใช้ระนาบสัมผัสที่ (1, 1) ประมาณค่า f(1.1, 0.9)

เดินไปตามเส้นทาง: กฎลูกโซ่รวมสองส่วนเข้าด้วยกัน

คราวนี้เดินเป็นวงกลมบนพื้น x = 1.6 cos t, y = 1.6 sin t และไต่ไปบนเนินเขาเหนือมัน ความสูงของเราเปลี่ยนเร็วแค่ไหนกดเล่น แล้วดูลูกศรสีแดงกับสีเขียว: ก้าวของเราแยกเป็นส่วนตามแกน x และส่วนตามแกน yแต่ละส่วนไต่ขึ้นด้วยความชันของตัวเอง: ส่วน x ด้วย fₓ ส่วน y ด้วย f_y แล้วเอามารวมกัน: dz/dt = fₓ·dx/dt + f_y·dy/dt นี่คือกฎลูกโซ่ (chain rule) ของสองตัวแปร: เส้นทางหนึ่งผ่านแต่ละตัวแปร แล้วรวมกัน ก็คือระนาบสัมผัสนั่นเอง ที่ตามไปตลอดทางเดิน

w = x² + y² โดย x = t, y = t² ที่ t = 1 ค่าของ dw/dt คือ …

ทิศใดก็ได้: อนุพันธ์ระบุทิศทาง และเกรเดียนต์

เดินไปทิศใดก็ได้ u (ลูกศรหนึ่งหน่วย สีเขียว) ความชันในทิศนั้นคือ D_u f = ∇f · u โดยเกรเดียนต์ (gradient) ∇f = ⟨fₓ, f_y⟩ คือลูกศรสีเหลืองบนพื้นหมุน u ให้ครบรอบ แล้วหาว่าทิศไหนชันที่สุด จากนั้นมองจากด้านบนดูแผนที่ความชันมากที่สุดเท่ากับ |∇f| เมื่อ u ชี้ไปทางเดียวกับ ∇f เป็นศูนย์เมื่อตั้งฉาก และติดลบมากที่สุดเมื่อสวนทาง มองจากด้านบน ∇f ตัดเส้นระดับที่ผ่านจุดของเราเป็นมุมฉาก และมันไม่ได้ชี้ไปที่ยอดเขา (เส้นสีเทา): บนเนินเขาที่ยืดออก ทางขึ้นที่ชันที่สุดคือทางที่ตัดข้ามเส้นระดับ ไม่ใช่ทางตรงไปยอด

สำหรับ f = x² + y² ที่ (3, 4) อัตราการเพิ่มที่มากที่สุดของ f คือ …

จุดที่ราบ: ยอด ก้น หรืออานม้า

f = x³ − 3x − y³ + 3y ราบ คือ fₓ = 0 และ f_y = 0 ระนาบสัมผัสแบนราบ ที่สี่จุด: x = ±1 และ y = ±1 แต่การที่ราบยังไม่ได้บอกว่าแต่ละจุดเป็นแบบไหนเลือกทีละจุด แล้วดูรอยตัดสีแดง (ตามแกน x) กับสีเขียว (ตามแกน y)ที่ยอด รอยตัดทั้งสองโค้งลง ที่ก้น ทั้งสองโค้งขึ้น ที่จุดอานม้า เส้นหนึ่งโค้งขึ้น อีกเส้นโค้งลง การทดสอบด้วยอนุพันธ์อันดับสองนับสิ่งนี้: D = f_xx f_yy − f_xy² ถ้า D > 0 แปลว่าโค้งไปทางเดียวกัน (แล้วถ้า fₓₓ < 0 เป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์ ถ้า > 0 เป็นค่าต่ำสุดสัมพัทธ์) ถ้า D < 0 เป็นจุดอานม้า และถ้า D = 0 การทดสอบนี้สรุปไม่ได้

ที่ (0, 0) ฟังก์ชัน f = x² − y² เป็น …