คณิตศาสตร์วิศวกรรม 1 · บทที่ 3–4 · ดูว่าทำไม แล้วลองเอง

Integralปริพันธ์

วัดพื้นที่ใต้เส้นโค้ง แล้วพบว่ามันคือ derivative ที่เดินย้อนกลับ

พื้นที่ใต้เส้นโค้ง y = 4 − x² (จาก −1 ถึง 2) ที่ถูกเติมด้วยสี่เหลี่ยม ซึ่งเราวัดได้ด้วย กว้าง × สูงกดปุ่ม “แท่งมากขึ้น บางลง” แล้วดูผลรวมใต้ภาพสี่เหลี่ยมไม่มีวันพอดีกับเส้นโค้ง แต่ละแท่งเกินขึ้นไปบ้าง ขาดไปบ้าง แท่งที่บางกว่าเหลือส่วนเกินและส่วนขาดเล็กกว่า ผลรวมจึงเข้าใกล้พื้นที่จริงมากขึ้น หน้านี้จะตอบว่า ผลรวมกำลังวิ่งเข้าหาเลขอะไร และหาได้พอดีโดยไม่ต้องนับแท่งได้ไหม

แนวคิดในคลิปเดียว: พื้นที่ใต้เส้นโค้ง และทำไมมันคือ derivative ที่เดินย้อนกลับ · 3 นาที

เริ่มเลย ↓ ไปที่สูตรตามชีท ↓ ไปฝึกโจทย์ ← ประยุกต์ใช้ derivative บทก่อนหน้า

พื้นที่แบบเดียวที่เรามั่นใจ

สูตรพื้นที่ที่เรามั่นใจเต็มร้อยมีแค่ กว้าง × สูง สามเหลี่ยมหรือวงกลมก็ได้มาจากการตัดแล้วจัดใหม่ทั้งนั้น แล้วพื้นที่ใต้เส้นโค้ง y = 4 − x² ตั้งแต่ x = −1 ถึง x = 2 ล่ะ เท่าไร ตรงนั้นไม่มีสี่เหลี่ยมให้ใช้สูตรเลย ลองนับช่องตารางใต้เส้นดู: 8? 9? 10?

อุ่นเครื่อง: รถวิ่ง 12 m/s นาน 3 วินาที แล้ววิ่ง 4 m/s อีก 2 วินาที ไปได้ไกลเท่าไร

หั่นเป็นสี่เหลี่ยมบาง ๆ

ฟ้า: แท่งสี่เหลี่ยม แต่ละแท่งสูงเท่าเส้นโค้งที่กึ่งกลางแท่ง เขียวอมฟ้า: พื้นที่ที่เราต้องการ ใต้ y = 4 − x² จาก −1 ถึง 2

พื้นที่เดิม หั่นเป็นแท่งกว้าง Δx แต่ละแท่งสูงเท่าเส้นโค้งที่กึ่งกลางแท่ง พื้นที่ของแท่งจึงเท่ากับ สูง × Δxกด ▶ เพื่อแบ่งความกว้างลงครึ่งหนึ่งทีละขั้น และแตะแท่งไหนก็ได้เพื่อดูความสูง ความกว้าง และพื้นที่ของแท่งนั้นทุกครั้งที่แบ่งครึ่ง ความคลาดเคลื่อน (ส่วนที่เกินและขาดจากเส้นโค้ง) เล็กลงราวสี่เท่า — คือตัวเลข “เปลี่ยนจากครั้งก่อน” ที่เล็กลงเรื่อย ๆ ผลรวมจึงนิ่งเข้าหาค่าเดียว ค่าที่นิ่งนั้นคือความหมายของ integral ข้างล่างจะเห็นทางลัด: อัตราที่พื้นที่โตขึ้นคือเส้นโค้งเอง derivative ที่เดินย้อนกลับจึงให้ค่านี้ได้พอดี

ทบทวน Σ: วิธีเขียนสั้น ๆ ของ “บวกทั้งหมดเข้าด้วยกัน”

Σ (ซิกมา ตัว S ใหญ่ของกรีก มาจาก sum) แปลว่า บวกสิ่งที่ตามหลังมันทีละตัว ตามค่าของตัวนับที่เขียนใต้มัน $Σ i=1 3 f(xᵢ)\cdotΔx$ อ่านว่า “บวก f(xᵢ) คูณ Δx สำหรับ i ตั้งแต่ 1 ถึง 3” คือ f(x₁)·Δx + f(x₂)·Δx + f(x₃)·Δx

ใต้ y = 4 − x² จาก −1 ถึง 2 ถ้า Δx = 1 กึ่งกลางแท่งทั้งสามอยู่ที่ x = −0.5, 0.5 และ 1.5 สูง 3.75, 3.75 และ 1.75 ดังนั้น Σ f(xᵢ)·Δx = (3.75 + 3.75 + 1.75) × 1 = 9.25 — ผลรวมแรกในรูปข้างบนนั่นเอง

เรียนเพิ่ม: OpenStax Calculus Volume 1, §5.1 Approximating Areas (ภาษาอังกฤษ)

แต่ละแท่งคือ สูง × กว้าง: f(x)·Δx รวมทุกแท่งเข้าด้วยกันจะได้ค่าประมาณที่ผิดไปนิดหน่อย — แต่ยิ่งแท่งบาง ก็ยิ่งผิดน้อยลง ลองดูว่าผลรวมเปลี่ยนไปเท่าไรทุกครั้งที่ความกว้างลดลงครึ่งหนึ่ง: −0.1875, −0.0469, −0.0117 … แต่ละครั้งเหลือแค่หนึ่งในสี่ของครั้งก่อน ผลรวมกำลังนิ่ง ค่าที่มันนิ่งเข้าหาคือ ลิมิต คือค่าที่ปริมาณหนึ่งวิ่งเข้าหา เมื่อบางอย่างเล็กลงเรื่อย ๆ ไม่สิ้นสุด

ค่าที่นิ่งนั้นมีชื่อและสัญลักษณ์: integral $\int -1 2 (4 - x²) dx$ ตัว ∫ คือตัว S ยืดยาว มาจาก sum (ผลรวม) ส่วน dx คือความกว้าง Δx ที่บางลงไม่สิ้นสุด อ่านว่า “รวม สูง × ความกว้างนิดเดียว ตั้งแต่ −1 ถึง 2”

ในโจทย์ประยุกต์ แต่ละชิ้นยังมีหน่วยของมัน: ความเร็ว (m/s) × เวลานิดเดียว (s) ได้ระยะทางนิดเดียว (m) ความหมาย “รวมชิ้นเล็ก ๆ” จึงเป็นความหมายที่ใช้ได้ในงานวิศวกรรมทุกแบบ

เรื่องที่น่าทึ่ง: ความชันของพื้นที่ คือเส้นโค้งเอง

ทบทวน ความชันของเส้นตรง: ระยะขึ้นหารระยะไป

ระหว่างสองจุดบนเส้นตรง ความชันคือระยะที่ขึ้น หารด้วยระยะที่ไปทางขวา: ΔyΔx = y₂ − y₁x₂ − x₁ ผ่านจุด (1, 2) และ (3, 8): 8 − 23 − 1 = 3 แปลว่าไปทางขวา 1 ขึ้น 3 เส้นที่ลงมีความชันติดลบ เส้นแบนราบมีความชัน 0 และใน y = mx + c ตัว m คือความชัน

ความชันคืออัตรา ถ้าเส้นนั้นเป็นระยะทาง (เมตร) เทียบกับเวลา (วินาที) ความชันมีหน่วยเมตรต่อวินาที คือความเร็ว อัตราทุกแบบที่เคยใช้ — กม./ชม. บาทต่อกิโล ลิตรต่อนาที — คือความชันทั้งนั้น

เรียนเพิ่ม: OpenStax College Algebra 2e, §4.1 Linear Functions (ภาษาอังกฤษ)

รวมสี่เหลี่ยมเป็นพัน ๆ แท่งทุกครั้งคงไม่ไหว ลองมองพื้นที่อีกแบบ: เริ่มที่ −1 แล้วให้ขอบขวาเคลื่อนไปเรื่อย ๆ เรียกพื้นที่ที่ได้ถึงตอนนั้นว่า A(x) ลากขอบแล้วดูกราฟของ A(x) ที่วาดอยู่ข้างล่าง แล้วถามว่า A โตเร็วแค่ไหน: ขยับขอบไปอีก Δx จะได้แถบสีเขียวบาง ๆ เพิ่มมา — ประมาณ f(x) × Δx

ข้างบน: พื้นที่จาก −1 ถึงขอบขวาที่เลื่อนได้ ข้างล่าง: พื้นที่นั้น A(x) วาดเป็นกราฟ แถบสีเขียวคือพื้นที่ที่เพิ่มขึ้นเมื่อขอบเลื่อนไปอีก Δxเลื่อนขอบด้วย ◀ ▶ (หรือลาก) แล้วดู A(x) โตขึ้น จากนั้นทำแถบให้บางลง แล้วดู ΔA/Δxแถบนั้นเกือบเป็นสี่เหลี่ยม สูงเท่าเส้นโค้ง × Δx พื้นที่จึงโตด้วยอัตราเท่ากับความสูงของเส้นโค้ง: ความชันของ A คือ f การหาพื้นที่จึงกลายเป็นการหาฟังก์ชันที่ derivative ของมันคือ f — ไม่ต้องใช้สี่เหลี่ยมเลย

ดังนั้น ΔAΔx ≈ f(x) และยิ่งแถบบาง ยิ่งใกล้ ความชันของ A คือความสูงของเส้นโค้ง แปลว่า A เป็นฟังก์ชันที่ derivative ของมันคือ 4 − x² เรารู้จักฟังก์ชันแบบนั้นอยู่ตัวหนึ่ง: F(x) = 4x − x³/3 เพราะ differentiate แล้วได้ 4 − x² พอดี พื้นที่จาก −1 ถึง 2 จึงเท่ากับ F(2) − F(−1) = 16/3 + 11/3 = 9 — พอดีเป๊ะ โดยไม่ต้องใช้สี่เหลี่ยมสักแท่ง

การ integrate คือการ differentiate ย้อนกลับ

นี่คือทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัส (fundamental theorem of calculus) มันเปลี่ยนเรื่อง “รวมแถบบาง ๆ นับไม่ถ้วน” ให้กลายเป็น “หาฟังก์ชันที่ derivative ของมันคือ f แล้วเอาค่าที่ปลายทั้งสองข้างมาลบกัน”

ตามชีท: derivative แบบย้อนกลับ

ชีท “Math 1: อินทิเกรต1” เริ่มจากแนวคิดนี้พอดี และถามมันเป็นคำถาม: ∫□dx คือคำถามว่า differentiate อะไรแล้วได้ □

F′(x) = f(x) ⇒ ∫ f(x) dx = F(x) + C

บทนิยาม 3.1 (หน้า 1) “จะกล่าวว่าฟังก์ชัน F เป็นปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชัน f บนช่วง S ก็ต่อเมื่อ F′(x) = f(x) ทุกค่า x บนช่วง S” กระบวนการหาปฏิยานุพันธ์เรียกว่าการหาปริพันธ์ (integration) และ ∫f(x)dx เรียกว่าปริพันธ์ไม่จำกัดเขต (indefinite integral) ของ f(x) เทียบกับ x โดย C เป็นค่าคงที่ใด ๆ (หน้า 4)

∫	เครื่องหมาย integral — “รวม”
f(x)	ตัวถูกปริพันธ์ (integrand) — สิ่งที่ถูก integrate
dx	เทียบกับ x — ความกว้างนิดเดียว
+ C	ค่าคงที่ใด ๆ: ได้ปฏิยานุพันธ์ทุกตัว ไม่ใช่แค่ตัวเดียว

ทำไมต้อง + C ดูตัวอย่างแรกในชีท (หน้า 1–2): x⁵/5, x⁵/5 + 1 และ x⁵/5 − 2 differentiate แล้วได้ x⁴ ทั้งหมด — เพราะ derivative ของค่าคงที่คือ 0 ดังนั้น ∫x⁴ dx = x⁵/5 + C นี่คือทั้งตระกูลสำหรับเส้นโค้งของเรา: ทุกเส้นมีความชันเท่ากันที่ x เดียวกัน ต่างกันแค่ความสูง

ลูกศรบอกความชัน 4 − x² ที่แต่ละจุด เส้นโค้งทุกเส้นที่วาดไว้เดินตามลูกศรเหล่านี้ — ทั้งหมดคือ 4x − x³/3 + C ต่างกันแค่ Cเลื่อน C ขึ้นลงด้วย ◀ ▶ (หรือลากกราฟ) ให้เส้นตัวหนาผ่านวงกลมที่จุด (−1, 0)รู้แค่ความชัน บอกรูปร่างได้ แต่บอกความสูงไม่ได้ — นั่นคือ + C และเมื่อลบ F(2) − F(−1) ตัว C หักล้างกันหายไป เส้นไหนในตระกูลก็ได้พื้นที่เท่ากันคือ 9

ลองทำให้เส้นผ่านจุด (−1, 0) มันจะกลายเป็น A(x) จากหัวข้อที่แล้วพอดี: C คือเลขบนมิเตอร์ตอนเริ่มนับ และใน F(b) − F(a) ตัว C หักล้างกันหายไป integral จำกัดเขตจึงใช้ C เท่าไรก็ได้

กฎยกกำลัง แบบย้อนกลับ

differentiate xⁿ⁺¹ ได้ (n + 1)xⁿ จะได้ xⁿ กลับมาก็หารด้วย n + 1: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C ลองเลื่อน n แล้วตรวจดู: ความสูงของเส้นสีฟ้า คือความชันของเส้นสีเขียว จากนั้นลอง n = −1

สีฟ้าคือ xⁿ สีเขียวคือ xⁿ⁺¹/(n + 1) จุดบนเส้นฟ้ากับเส้นสัมผัสบนเส้นเขียวอยู่ที่ x เดียวกันเปลี่ยน n ด้วย ◀ ▶ แล้วลาก x ไปมา: ความสูงของเส้นฟ้าเท่ากับความชันของเส้นเขียวเสมอ จากนั้นลอง n = −1แสดงว่ากฎยกกำลังของ integral ก็คือกฎยกกำลังของ derivative ที่เดินย้อนกลับ และทำไม n = −1 จึงเป็นข้อยกเว้นเดียว (ต้องหารด้วยศูนย์) ซึ่งคำตอบคือ ln|x|

derivative แต่ละตัว อ่านย้อนกลับ (ชีทหน้า 5)

differentiate	จึง integrate ได้
d/dx (x) = 1	∫ 1 dx = x + C
d/dx (xⁿ⁺¹/(n+1)) = xⁿ	∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C, n ≠ −1
d/dx (ln\|x\|) = 1/x	∫ (1/x) dx = ln\|x\| + C
d/dx (eˣ) = eˣ	∫ eˣ dx = eˣ + C
d/dx (aˣ/ln a) = aˣ	∫ aˣ dx = aˣ/ln a + C
d/dx (−cos x) = sin x	∫ sin x dx = −cos x + C
d/dx (sin x) = cos x	∫ cos x dx = sin x + C
d/dx (tan x) = sec²x	∫ sec²x dx = tan x + C
d/dx (−cot x) = csc²x	∫ csc²x dx = −cot x + C
d/dx (sec x) = sec x tan x	∫ sec x tan x dx = sec x + C
d/dx (−csc x) = csc x cot x	∫ csc x cot x dx = −csc x + C
d/dx (sin⁻¹x) = 1/√(1 − x²)	∫ dx/√(1 − x²) = sin⁻¹x + C
d/dx (tan⁻¹x) = 1/(1 + x²)	∫ dx/(1 + x²) = tan⁻¹x + C

ตารางเต็มในชีทหน้า 6 มี 25 สูตร รวม tan, cot, sec, csc และรูปที่มีค่า a ซึ่งจะได้ใช้ในบทถัดไป เทคนิคการ integrate ชีทบอกไว้ตรง ๆ ว่า “ท่องสูตร diff ให้คล่อง” — รู้สูตร derivative แล้ว integral ก็มาด้วย

∫ x³ dx = ?

∫ (1/x) dx = ?

กฎของผลบวกและค่าคงที่ (หน้า 4)

∫ (u ± v) dx = ∫ u dx ± ∫ v dx	ผลบวกแยกกันได้
∫ k·u dx = k ∫ u dx	ค่าคงที่ดึงออกมาได้
∫ u·v dx ≠ ∫ u dx · ∫ v dx	“ระวัง!” — ผลคูณแยกกันไม่ได้

∫ x·x² dx = ?

ตัวอย่าง 3.1 ในชีท ทำทีละขั้น — แล้วตรวจด้วยการ differentiate

1 ∫ (2x + sin x − 5ˣ) dx = ∫ 2x dx + ∫ sin x dx − ∫ 5ˣ dx ผลบวกแยกเป็นทีละพจน์ได้ (หน้า 4)

2 = 2·x²/2 + (−cos x) − 5ˣ/ln 5 + C แต่ละพจน์จากตาราง: กฎยกกำลัง, sin, aˣ

3 = x² − cos x − 5ˣ/ln 5 + C จัดรูปให้เรียบร้อย

✓ (x² − cos x − 5ˣ/ln 5)′ = 2x + sin x − 5ˣ ตรวจ: differentiate คำตอบ — “อยากรู้ว่าอินทิเกรตถูกมั้ย ก็ต้อง diff คำตอบดู” (หน้า 16)

ทบทวน เขียนเศษส่วนและรากให้เป็นเลขยกกำลัง

กฎยกกำลังใช้ได้กับ xⁿ เท่านั้น จึงต้องเขียนใหม่ก่อน:

1/xⁿ = x⁻ⁿ	1/t⁴ = t⁻⁴
√x = x^1/2	1/√x = x^−1/2
ⁿ√x^m = x^m/n	³√x² = x^2/3
xᵃ · xᵇ = x^a+b	x³√x = x^{3 + 1/2} = x^7/2
xᵃ / xᵇ = x^a−b	2t³/t⁴ = 2t⁻¹

จากนั้น ∫x^−1/2 dx = x^1/2/(1/2) + C = 2√x + C (หารด้วยเศษส่วน คือคูณด้วยตัวกลับ)

เรียนเพิ่ม: OpenStax College Algebra 2e, §1.3 Radicals and Rational Exponents (ภาษาอังกฤษ)

1 ∫ 1 − 2t³t⁴ dt = ∫ (t⁻⁴ − 2t⁻¹) dt แยกเศษส่วน แล้วเขียนแต่ละส่วนเป็นเลขยกกำลัง

2 = t⁻³/(−3) − 2 ln|t| + C กฎยกกำลังสำหรับ t⁻⁴ ส่วน t⁻¹ คือข้อยกเว้น: ln|t|

3 = −1/(3t³) − 2 ln|t| + C ตัวอย่าง 3.1(5) หน้า 8

✓ (−t⁻³/3 − 2 ln|t|)′ = t⁻⁴ − 2/t = (1 − 2t³)/t⁴ ตรวจด้วยการ differentiate

ทบทวน กระจาย (x + h)² — และทำไมไม่ใช่ x² + h²

(x + h)² คือสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านยาว x + h ตัดตามแนว x กับ h จะได้จัตุรัสใหญ่ x² จัตุรัสเล็ก h² และแถบยาวอีกสองแถบ x·h ดังนั้น (x + h)² = x² + 2xh + h² ลืมสองแถบนี้คือพลาดที่เจอบ่อย — เช็กด้วยตัวเลข: (3 + 1)² = 16 แต่ 3² + 1² = 10

ในชีทคูณด้วย 2 ต่อ: 2(x + h)² = 2x² + 4xh + 2h² และจัตุรัสรูปนี้จะกลับมาอีกครั้งในบทนี้ — มันคือที่มาของการ differentiate x² แล้วได้ 2x

เรียนเพิ่ม: Khan Academy — การยกกำลังสองทวินามในรูป (x+a)² (ซับไทย) · OpenStax §1.4 (ภาษาอังกฤษ)

1 ∫ (1 − 3x²)² dx = ∫ (1 − 6x² + 9x⁴) dx กำลังสองยัง integrate ตรง ๆ ไม่ได้: กระจายก่อน

2 = x − 6·x³/3 + 9·x⁵/5 + C กฎยกกำลัง ทีละพจน์

3 = x − 2x³ + (9/5)x⁵ + C ตัวอย่าง 3.1(4) หน้า 7

✓ (x − 2x³ + (9/5)x⁵)′ = 1 − 6x² + 9x⁴ = (1 − 3x²)² ตรวจด้วยการ differentiate

integral จำกัดเขต: จาก a ถึง b

∫_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) − F(a)

ตามที่ชีท “Math 1: อินทิกรัลจำกัดเขต” ตีกรอบไว้ (หน้า 2) สิ่งที่กรอบไม่ได้บอก และรูปขอบเลื่อนข้างบนแสดงให้เห็นคือ: F ต้องเป็นปฏิยานุพันธ์ของ f — ฟังก์ชันที่ derivative ของมันคือ f และต้องเป็นขอบบนลบขอบล่าง เรียงตามนี้

1 ∫₋₁² (4 − x²) dx = [4x − x³/3 + c]₋₁² หาปฏิยานุพันธ์ก่อน (ชีทยังเขียน + c ไว้ หน้า 13)

2 = (8 − 8/3 + c) − (−4 + 1/3 + c) แทนขอบบน แล้วลบด้วยค่าที่แทนขอบล่าง

3 = 16/3 + 11/3 = 9 ตารางหน่วย c หักล้างกันหายไป ได้ 9 — ค่าที่แท่งสี่เหลี่ยมนิ่งเข้าหานั่นเอง

∫₁² (3x² + 2x − 4) dx = ? (ชีทหน้า 1)

ใต้แกน x: integral นับเป็นค่าลบ

ฟ้า: เหนือแกน นับเป็น + แดง: ใต้แกน นับเป็น −

เส้นโค้ง y = x³ จาก −2 ถึงขอบบน b ที่เลือกได้ สีฟ้าอยู่เหนือแกน สีแดงอยู่ใต้แกนเลื่อน b ด้วย ◀ ▶ (หรือลาก) จาก −2 ไป 2 แล้วเทียบสองตัวเลข: integral กับพื้นที่integral รวม สูง × กว้าง และใต้แกนความสูงติดลบ ส่วนสีแดงจึงถูกหักออก ที่ b = 2 สองส่วนหักล้างกัน integral = 0 ทั้งที่พื้นที่คือ 8 ถ้าต้องการพื้นที่ ต้องแบ่งที่จุดตัดแกน แล้วนับทุกชิ้นเป็นบวก

ตรงที่ f อยู่ใต้แกน f(x)·dx ติดลบ integral จึงหักส่วนนั้นออก จาก −2 ถึง 2 ใต้ y = x³ สองซีกหักล้างกันพอดี: integral เท่ากับ 0 ทั้งที่พื้นที่จริงคือ 4 + 4 = 8 ถ้าต้องการพื้นที่ ต้องแบ่งช่วงที่จุดตัดแกน แล้วนับทุกชิ้นเป็นค่าบวก การใส่ค่าสัมบูรณ์ทั้งก้อน |∫f dx| ใช้ได้เฉพาะเมื่อ f ไม่เปลี่ยนเครื่องหมายในช่วงนั้น (ชีทหน้า 12) ถ้า f เป็นความเร็ว: integral คือว่าสุดท้ายคุณอยู่ตรงไหน ส่วนพื้นที่คือขับไปไกลแค่ไหน

พื้นที่ระหว่าง y = x³ กับแกน x จาก x = −2 ถึง x = 1 (ชีทหน้า 14) เท่ากับ …

ดูฉบับเต็ม: ต้นฉบับที่บทนี้ได้แรงบันดาลใจ

ขอบที่เลื่อนได้และแนวคิด “integrate คือ differentiate ย้อนกลับ” มาจากซีรีส์ Essence of Calculus ของ 3Blue1Brown (Grant Sanderson) ตอนที่ 8 และ 9 — เล่าด้วยความเร็วของรถแทนเส้นโค้ง ทั้งสองตอนมีคำบรรยายภาษาไทย

ตอนที่ 8 · 21 นาที · มีคำบรรยายไทย

การ integrate และทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัส

ระยะทางจากความเร็วที่เปลี่ยนตลอด: สี่เหลี่ยมบาง ๆ พื้นที่ใต้กราฟ และทำไมความชันของพื้นที่จึงเป็นเส้นโค้งเอง

ตัวอย่างรถ
พื้นที่ใต้กราฟ
ทฤษฎีบทหลักมูล
สรุป
พื้นที่ติดลบ

ตอนที่ 9 · 13 นาที · มีคำบรรยายไทย

พื้นที่เกี่ยวอะไรกับความชัน

ความสูงเฉลี่ยของ sin x บน [0, π] คือ 2/π — และการหาค่าเฉลี่ยกลับกลายเป็นความชัน

ปัญหาการหาค่าเฉลี่ย
ประมาณด้วยผลรวม
คำนวณ integral
ค่าเฉลี่ยในฐานะความชัน
ขยายแนวคิดให้ทั่วไป

วิดีโอเป็นของ 3Blue1Brown ฝังจาก YouTube ส่วนแบบตำรา: OpenStax Calculus Volume 1 หัวข้อ 5.1–5.3 (ฟรี ภาษาอังกฤษ) openstax.org