คณิตศาสตร์วิศวกรรม 1 · บทที่ 3 · ความชันเอาไปใช้ทำอะไร

ประยุกต์ใช้ derivativeอนุพันธ์

สูงสุด ต่ำสุด ดีที่สุด และการประมาณค่าอย่างเร็ว — ทั้งหมดมาจากความจริงข้อเดียว: ตรงที่เส้นโค้งเลี้ยวกลับ มันแบนราบ

เส้นโค้ง y = x³ − 3x² − 24x + 1 กับเส้นสัมผัสที่จุดซึ่งเลื่อนได้: เขียวเมื่อขาขึ้น แดงเมื่อขาลงเลื่อน x ด้วย ◀ ▶ (หรือลาก) หาจุดที่เส้นสัมผัสแบนราบจะเปลี่ยนจากขึ้นเป็นลง ความชันต้องผ่าน 0 จุดสูงสุดและต่ำสุดทุกจุดจึงอยู่ที่ f′(x) = 0 — หาได้โดยไม่ต้องวาดกราฟ

เริ่มเลย ↓ ไปฝึกโจทย์ ← derivative บทก่อนหน้า

ตรงที่เส้นโค้งเลี้ยวกลับ มันแบนราบ

ลองลากไปตามเส้นโค้งข้างบน — เป็นเส้นจากชีท y = x³ − 3x² − 24x + 1 เส้นสัมผัสสีเขียว: กำลังขึ้น สีแดง: กำลังลง จะเปลี่ยนจากขึ้นเป็นลงได้ ความชันต้องผ่านศูนย์ก่อน ดังนั้นยอดทุกยอดและก้นทุกก้นอยู่ตรงที่ f′(x) = 0 ค่า x เหล่านั้นเรียกว่าจุดวิกฤต

1 f′(x) = 3x² − 6x − 24 differentiate — กฎยกกำลัง

2 3(x² − 2x − 8) = 3(x + 2)(x − 4) = 0 ให้เท่ากับ 0 ดึง 3 ออก แล้วหาสองจำนวนที่คูณกันได้ −8 บวกกันได้ −2

3 x = −2 หรือ x = 4 จุดวิกฤตสองจุด

4 + │−2│ − │4│ + เครื่องหมายของ f′ ระหว่างจุด: ลองแทน x = −3, 0, 5

5 (−2, 29) สูงสุดสัมพัทธ์ · (4, −79) ต่ำสุดสัมพัทธ์ จาก + เป็น − คือยอด จาก − เป็น + คือก้น

จากชีท “Math 1: ประยุกต์อนุพัน(จุดวิกฤต)” หน้า 2 และ 6 — ที่เรียก “สัมพัทธ์” เพราะสูงสุดหรือต่ำสุดแค่ในย่านใกล้ ๆ ไกลออกไปเส้นโค้งขึ้นสูงกว่าและลงต่ำกว่านี้อีก

อีกวิธีตรวจ: เส้นโค้งเว้าไปทางไหน f″ (differentiate สองครั้ง) บอกว่าความชันเองกำลังเปลี่ยนอย่างไร f″(x) = 6x − 6: ที่ x = −2 ได้ −18 < 0 เส้นโค้งเว้าล่าง ∩ — เป็นยอด ที่ x = 4 ได้ 18 > 0 เว้าบน ∪ — เป็นก้น และตรงที่ f″ = 0 (x = 1) การเว้าสลับด้าน: จุดเปลี่ยนเว้า

f′ เปลี่ยนจาก − เป็น + ที่ x = 3 ตรงนั้นคืออะไร

คลองที่ดีที่สุด: การหาค่าเหมาะที่สุดแบบวิศวกร

คุณกำลังดาดคลองส่งน้ำหน้าตัดสี่เหลี่ยมด้วยคอนกรีต และมีพอสำหรับความยาวดาด 4 m ต่อหน้าตัด — พื้น b กับผนังสองข้างที่น้ำท่วมถึง y: b + 2y = 4 จะทำคลองลึกแคบ หรือกว้างตื้น แบบไหนให้น้ำไหลผ่านได้มากที่สุด คือได้พื้นที่หน้าตัด A = b·y มากที่สุด

ลองลากความลึก ผนังสีเหลืองกับพื้นสีเขียวตัดมาจากแผ่นคอนกรีตยาว 4 m แผ่นเดียวกันที่วาดไว้ข้างล่าง คลองยิ่งลึก พื้นจึงต้องยิ่งแคบ ส่วนกราฟทางขวา ความชันของ A บอกว่าลึกลงอีกนิดยังได้พื้นที่เพิ่ม (+) เริ่มเสียพื้นที่ (−) หรือไม่เปลี่ยนเลย (0) จุดที่แบนนั่นแหละคือคลองที่ดีที่สุด

เขียนพื้นที่ให้เหลือตัวแปรเดียว: b = 4 − 2y จึงได้ A = y(4 − 2y) = 4y − 2y² แล้ว dA/dy = 4 − 4y = 0 ได้ y = 1 m และ b = 2 m: คลองที่ดีที่สุดกว้างเป็นสองเท่าของความลึก นี่คือหน้าตัดที่ดีที่สุดทางชลศาสตร์ (best hydraulic section) ของหน้าตัดสี่เหลี่ยม b = 2y ซึ่งเป็นจริงไม่ว่าความยาวดาดจะเท่าไร และยังทำให้แรงเสียดทานต่อการไหลน้อยที่สุดด้วย คู่มือออกแบบจึงเริ่มจากตรงนี้

สูตรของโจทย์หาค่าเหมาะที่สุดทุกข้อ: เขียนสิ่งที่ต้องการให้มากที่สุดเป็นตัวแปรเดียว (ใช้เงื่อนไขที่กำหนด) differentiate แล้วให้เท่ากับ 0 จากนั้นตรวจว่าเป็นยอดจริง

ประมาณค่าอย่างเร็ว: ใช้เส้นสัมผัสแทนเส้นโค้ง

เมื่อซูมเข้าไป เส้นโค้งก็คือเส้นสัมผัสของมัน — ใกล้จุดที่เรารู้ค่า ใช้เส้นตรงแทนได้: f(x + Δx) ≈ f(x) + f′(x)·Δx ตัวอย่างในชีท: √37.01 เรารู้ว่า √36 = 6 และความชันของ √x ตรงนั้นคือ 1/(2√36) = 1/12 ดังนั้น √37.01 ≈ 6 + 1.01/12 ≈ 6.0842 ค่าจริงคือ 6.0836

√x (สีฟ้า) กับเส้นสัมผัสที่ 36 (สีเหลือง) และห่างกันเท่าไรเมื่อขยับไป Δxเปลี่ยน Δx ด้วย ◀ ▶ และติ๊ก “ซูมเข้าไป” เพื่อดูสองเส้นเกือบทับกันใกล้จุดที่รู้ค่า เส้นสัมผัสใช้แทนได้ดีมาก: √37.01 ≈ 6 + 1.01/12 คลาดแค่ทศนิยมตำแหน่งที่สี่

Δx ยิ่งไกล เส้นตรงยิ่งห่างจากเส้นโค้ง — จากชีท “Math 1: ประมานค่า-โลปิตาล” หน้า 4

โลปิตาล: 0/0 อีกครั้ง คราวนี้ใช้ความชันตัดสิน

กลับไปที่ปริศนาในบทลิมิต (x² − 3x − 4)/(x² − 16) ที่ x = 4: ทั้งเศษและส่วนเป็น 0 ซูมเข้าไปที่ x = 4 ทั้งสองกลายเป็นเส้นสัมผัสที่ผ่านศูนย์: เศษ ≈ f′(4)(x − 4) ส่วน ≈ g′(4)(x − 4) แล้ว (x − 4) ตัดกันได้ เหลือแค่อัตราส่วนของความชัน:

lim_x→4 x² − 3x − 4x² − 16 = 2x − 32x at 4 = 58

differentiate เศษกับส่วนแยกกัน — ไม่ใช่กฎผลหาร — แล้วแทนค่า ได้ 5/8 เท่ากับที่แยกตัวประกอบได้ในบทลิมิต ใช้ได้เฉพาะรูป 0/0 (หรือ ∞/∞) เท่านั้น

ใช้โลปิตาล: lim_x→0 sin xx = ?

ดูฉบับเต็ม

OpenStax Calculus Volume 1, §4.3 Maxima and Minima และ §4.5 Derivatives and the Shape of a Graph
OpenStax §4.7 Applied Optimization Problems — โจทย์หาค่าเหมาะที่สุดพร้อมวิธีทำอีกหลายข้อ
OpenStax §4.2 Linear Approximations and Differentials
OpenStax §4.8 L’Hôpital’s Rule · 3Blue1Brown ตอนที่ 7 นาทีที่ 16:13 — โลปิตาล และใครเป็นคนค้นพบจริง (ภาษาอังกฤษ ยังไม่มีซับไทย)

หนังสือ OpenStax อ่านฟรี (CC BY-NC-SA) เป็นภาษาอังกฤษ