การประยุกต์ใช้ derivative (อนุพันธ์)
Applications of derivatives
การออกแบบที่ดีที่สุดคือการหาค่าสูงสุดหรือต่ำสุดของบางสิ่ง และ derivative บอกว่ามันอยู่ตรงไหน
สรุปไว้ทบทวน ถ้ายังไม่เคยเรียนเรื่องนี้ เริ่มที่แท็บ “เรียน” ก่อน
-
จุดวิกฤต คือจุดที่ f′(x) = 0 (หรือ f′ ไม่มีค่า) ซึ่งเป็นที่ที่เส้นสัมผัสแนวนอน ยอดเขาและก้นหุบของกราฟอยู่ที่จุดเหล่านี้ แยกว่าเป็นอะไรด้วย f″: f″ < 0 กราฟโค้งคว่ำ เป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์ · f″ > 0 โค้งหงาย เป็นค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ ถ้า f″ = 0 ให้ดูเครื่องหมายของ f′ สองข้างแทน (บวกเป็นลบ = สูงสุด ลบเป็นบวก = ต่ำสุด) ค่าสูงสุดต่ำสุดได้จากการแทนใน f เดิม ไม่ใช่ใน f′
จาก Math 1: ประยุกต์อนุพัน(จุดวิกฤต) หน้า 10 -
ค่าสูงสุดและต่ำสุดสัมบูรณ์บนช่วงปิด [a, b]: แทน f ที่จุดวิกฤตที่อยู่ในช่วง และที่ปลายช่วงทั้งสอง แล้วเลือกค่ามากสุดและน้อยสุด ห้ามลืมปลายช่วง เช่น f(x) = x³ − 3x² − 9x + 1 บน [0, 4] ค่าสูงสุดคือ 1 ที่ x = 0 ซึ่งเป็นปลายช่วง ไม่ใช่จุดวิกฤต
จาก Math 1: ประยุกต์อนุพัน(จุดวิกฤต) หน้า 12 -
โจทย์หาค่าที่ดีที่สุด: ตั้งตัวแปร เขียนสิ่งที่ต้องการให้มากหรือน้อยที่สุดเป็นสูตร ใช้เงื่อนไขของโจทย์ให้เหลือตัวแปรเดียว diff แล้วให้เท่ากับศูนย์ และตรวจปลายช่วงด้วย เช่น รั้ว 120 ม. ล้อมสามด้านริมคลอง A = x(120 − 2x) ได้ x = 30 พื้นที่มากสุด 1,800 ตร.ม.
-
ประมาณค่าด้วยเส้นสัมผัส: ใกล้จุดที่รู้ค่า กราฟเกือบเป็นเส้นตรง f(a + h) ≈ f(a) + f′(a)·h เลือก a ที่รู้ค่าแน่นอนและใกล้ค่าที่ถาม เช่น √4.1 เลือก a = 4, h = 0.1 ได้ 2 + (1/4)(0.1) = 2.025 (ค่าจริง 2.02485…) ยิ่ง h เล็ก ยิ่งแม่น
จาก Math 1: ประมานค่า-โลปิตาล หน้า 3
อีก 2 ข้อ
-
กฎของโลปิตาล: ถ้าแทนค่าแล้วได้ 0/0 หรือ ∞/∞ จะได้ lim f/g = lim f′/g′ โดย diff เศษและส่วนแยกกัน ไม่ใช่กฎผลหาร ใช้ซ้ำได้ถ้ายังเป็นรูปเดิม แต่ต้องตรวจรูปทุกครั้ง ถ้าแทนค่าได้ตัวเลขแล้วห้ามใช้ รูป 0·∞ ให้จัดเป็นเศษส่วนก่อน เช่น lim (x→0) (eˣ − 1 − x)/x² ใช้สองครั้งได้ 1/2
จาก Math 1: ประมานค่า-โลปิตาล หน้า 7 -
อัตราสัมพัทธ์: ปริมาณสองอย่างเปลี่ยนตามเวลาและผูกกันด้วยสูตร เขียนสูตรที่เชื่อมกัน diff ทั้งสองข้างเทียบกับเวลา (กฎลูกโซ่ทำให้ dr/dt ติดมา) แล้วค่อยแทนตัวเลขทีหลัง เช่น ลูกโป่ง V = (4/3)πr³ ได้ dV/dt = 4πr² dr/dt ถ้า dr/dt = 2 ซม./วินาที ที่ r = 5 ปริมาตรเพิ่ม 200π ลบ.ซม./วินาที ถ้าแทนตัวเลขก่อน diff จะได้ศูนย์ ซึ่งผิด
เรียบเรียงด้วย AI จากแหล่งของหัวข้อนี้
ลองคิดเองก่อน — แล้วค่อยเปิดดูวิธีทำทีละขั้น หรือทั้งหมดในครั้งเดียว
ดูวิธีคิดทีละขั้น
ติวเตอร์อธิบายวิธีคิด ส่วนการคำนวณเป็นหน้าที่ของโค้ดที่ตรวจสอบได้
หน้าที่ระบบค้นพบว่าสอนเรื่องนี้ เรียงจากตรงที่สุด กดที่ภาพเพื่อเปิดอ่านและพลิกหน้า
