ลูกโซ่ และผลคูณ
สูตรจริง ๆ ประกอบขึ้นจากชิ้นส่วน และแค่สองกฎก็ differentiate ได้ ไม่ว่าจะประกอบกันแบบไหน
ชิ้นส่วน
หน้า 1 ได้กฎยกกำลังไปแล้ว ชีทให้ชิ้นส่วนที่เหลือที่จะเอามาประกอบกัน (หน้า 16 และ 20–22) ทุกตัวคือความชันของเส้นตรงที่เห็นเมื่อซูมเข้าไป ซึ่งหาไว้ครั้งเดียว ตอนสอบไม่ต้องพิสูจน์ใหม่
| f(x) | f′(x) |
|---|---|
| xⁿ | n·xⁿ⁻¹ |
| sin x | cos x |
| cos x | −sin x |
| tan x | sec² x |
| eˣ | eˣ |
| aˣ | aˣ ln a |
| ln x | 1/x |
ทำไม sin x differentiate ได้ cos x: 3Blue1Brown ตอนที่ 3 นาทีที่ 12:36 (ซับไทย) (อาศัย sin h / h → 1 จากบทลิมิต) ทำไม eˣ differentiate แล้วได้ตัวเอง: ตอนที่ 5 (ซับไทย) — และ x ต้องเป็นเรเดียน
กฎผลคูณ: สี่เหลี่ยมที่ด้านทั้งสองยืดพร้อมกัน
มอง u·v เป็นพื้นที่สี่เหลี่ยม กว้าง u สูง v ในที่นี้ u = x + 1 และ v = x² ขยับ x ไปอีก dx: ความกว้างยืดไป du ความสูงยืดไป dv พื้นที่ที่งอกออกมาคือแถบ v·du ด้านข้าง แถบ u·dv ด้านบน และมุมเล็ก ๆ du·dv
“หน้า × derivative ของหลัง + หลัง × derivative ของหน้า” — บีบ dx ลง มุม du·dv หายเร็วกว่าส่วนอื่นทั้งหมด ลองเช็กกับหน้า 1: (x + 1)·x² = x³ + x² differentiate ได้ 3x² + 2x ส่วนกฎให้ (x + 1)·2x + x²·1 = 3x² + 2x ตรงกัน
หา derivative ของ x²·sin x
u = x², v = sin x: หน้า × derivative ของหลัง คือ x²·cos x บวก หลัง × derivative ของหน้า คือ sin x·2x — ส่วนการ differentiate แยกแต่ละตัวแล้วเอามาคูณกัน (2x·cos x) คือพลาดยอดฮิต เพราะลืมว่าแถบสองแถบแยกกัน
กฎลูกโซ่: เส้นจำนวนที่ยืดต่อกัน
y = (x² + 1)³ คือฟังก์ชันซ้อนอยู่ในฟังก์ชัน: ก่อนอื่น u = x² + 1 แล้วจึง y = u³ ตามก้าวเล็ก ๆ dx ผ่านทั้งสองชั้น ชั้นแรกยืดมันไป du/dx = 2x เท่า ชั้นที่สองยืดผลนั้นต่ออีก dy/du = 3u² เท่า เส้นจำนวนทั้งสามข้างล่างใช้สเกลเดียวกัน จึงเห็นการยืดได้ด้วยตา
“derivative ของตัวนอก × derivative ของตัวใน” — การยืดคูณต่อกัน derivative ของชั้นนอก (ข้างในปล่อยไว้เหมือนเดิม) คูณ derivative ของชั้นใน: (x² + 1)³ differentiate ได้ 3(x² + 1)²·2x ในชีทเขียนแบบเต็มด้วย — ตั้ง u = x² + 1 แล้วไล่ลำดับตัวแปร y → u → x (หน้า 29–30) ได้ผลเดียวกัน
หา derivative ของ sin(x²)
derivative ของตัวนอก: sin → cos โดยข้างในยังเป็น x² เหมือนเดิม ได้ cos(x²) แล้วคูณ derivative ของตัวใน: x² → 2x ได้ 2x·cos(x²) ถ้าหยุดที่ cos(x²) คือลืมการยืดชั้นที่สอง
กฎผลหาร มาจากสองกฎแรก
“ล่าง × derivative ของบน − บน × derivative ของล่าง ส่วน ล่างกำลังสอง” — u/v ก็คือ u·v⁻¹: กฎผลคูณที่มีกฎลูกโซ่ซ้อนอยู่ข้างใน (v⁻¹ differentiate ได้ −v⁻²·v′) ลำดับสำคัญเพราะมีเครื่องหมายลบ — ล่างก่อน ชีทหน้า 37
หา derivative ของ xx + 1
(x + 1)·1 − x·1 ส่วน (x + 1)²: x หักล้างกัน เหลือ 1/(x + 1)² ถ้าเอาบนก่อนจะได้ −1 — เครื่องหมายนี่แหละคือเหตุผลที่ต้อง “ล่างก่อน”
ดูฉบับเต็ม: ต้นฉบับที่หน้านี้ได้แรงบันดาลใจ
วิดีโอเป็นของ 3Blue1Brown ฝังจาก YouTube — ดูทั้งซีรีส์ได้ที่ 3blue1brown.com