คณิตศาสตร์วิศวกรรม 1 · บทที่ 3 · สี่เทคนิค หนึ่งความคิด
เทคนิคการ integrate
ทุกเทคนิค คือกฎของ derivative ที่เดินย้อนกลับ
ข้ามไป
เปลี่ยนตัวแปร
by parts
แยกเศษส่วนย่อย
อินทิเกรตตรีโกณ
ทำไมการ integrate ต้องมีเทคนิค
การ differentiate มีกฎให้ทำตามเสมอ: กฎผลคูณ กฎลูกโซ่ กฎผลหาร — ทำตามขั้นตอนแล้วได้คำตอบ แต่การ integrate ไม่มีขั้นตอนตายตัวแบบนั้น
การ integrate คือการดูออกว่าโจทย์ตรงหน้า เกิดจากกฎ derivative ข้อไหน แล้วเดินกฎนั้นย้อนกลับ
ทุกเทคนิคในหน้านี้ คือกฎหนึ่งข้อที่เดินถอยหลัง
differentiate sin(x³) ได้ cos(x³) · 3x² ถ้าจะ integrate 3x² cos(x³) ต้องเดินกฎไหนย้อนกลับ
ไม่ต้อง — อยู่ในตารางสูตรตรง ๆ
กฎลูกโซ่ → การเปลี่ยนตัวแปร
กฎผลคูณ → by parts
ตรวจคำตอบ
ฟังก์ชันซ้อนฟังก์ชัน cos(x³ ) และมี derivative ของตัวข้างใน 3x² คูณอยู่ข้างนอก — นี่คือรอยที่กฎลูกโซ่ทิ้งไว้
ย้อนกลับด้วยการเปลี่ยนตัวแปร: \(\int 3x^2\cos(x^3)\,dx = \sin(x^3) + C\) หัวข้อถัดไปจะให้เห็นว่าขั้นนี้ทำอะไรจริง ๆ
การเปลี่ยนตัวแปร: กฎลูกโซ่ที่เดินย้อนกลับ
กฎลูกโซ่ทิ้งรอยไว้เสมอ: differentiate \(\sin(\htmlClass{tq-u}{x^3})\) ได้
\(\cos(\htmlClass{tq-u}{x^3}) \cdot \htmlClass{tq-du}{3x^2}\) คือฟังก์ชันข้างนอกที่ก้อนข้างใน
คูณกับderivative ของก้อนข้างใน ดังนั้นถ้าโจทย์ integral มีฟังก์ชันของก้อนข้างใน
และมี derivative ของก้อนนั้นคูณอยู่ข้างนอก ให้เรียกก้อนข้างในว่า \(\htmlClass{tq-u}{u}\)
derivative ของมันกลายเป็น \(\htmlClass{tq-du}{du}\) แล้ว x ทั้งหมดก็หายไป
ภาพนี้ตอบคำถาม: ทำไม \(\htmlClass{tq-du}{3x^2\,dx}\) ถึงกลายเป็น \(\htmlClass{tq-du}{du}\) ได้เฉย ๆ
\[\int_0^{1.1} \cos(\htmlClass{tq-u}{x^3})\;\htmlClass{tq-du}{3x^2\,dx}\]
\[\int_0^{1.331} \cos(\htmlClass{tq-u}{u})\;\htmlClass{tq-du}{du}\]
พื้นที่ใต้ 3x²·cos(x³) หั่นเป็นแถบ แถบสีเหลืองคือแถบตัวอย่าง ความกว้างของมันเป็นสีเขียว กด ▶ แล้วดู — หรือเลื่อนแถบเลื่อน หรือลากบนภาพ u = x³ ยืดแกน x ออกเป็นแกน u แต่ละแถบย้ายไปตามที่ขอบของมันตกบนแกน u และพื้นที่เท่าเดิม: กว้างขึ้น เตี้ยลง สุดท้ายแถบทั้งหมดอยู่ใต้ cos u ธรรมดา และพื้นที่รวมไม่เปลี่ยน ตัวคูณ 3x² คือระดับที่แกนถูกยืดตรงนั้นพอดี ดังนั้น 3x² dx ก็คือความกว้างของแถบที่วัดบนแกน u นั่นคือ du
ลองเอง: การเลือก u คือทักษะทั้งหมด ลองเลือกทั้งถูกและผิด แล้วดูว่าทำไม
integral สี่ข้อ แต่ละข้อสอนเรื่องการเลือก u หนึ่งเรื่อง เลือกตัวอย่าง แล้วลอง u ทีละตัว u ใช้ได้ก็ต่อเมื่อส่วนที่เหลือที่เป็น x กลายเป็น du ได้หมด — พอดี หรือต่างแค่ค่าคงที่ หรือแค่เครื่องหมายลบ ถ้ายังเหลือ x ให้ลองตัวอื่น บางข้อ u สองแบบก็ใช้ได้ทั้งคู่ และคำตอบต่างกันแค่ค่าคงที่ นี่คือเหตุผลที่ต้องมี + C
1 หาก้อนข้างใน ที่ derivative ของมันคูณอยู่ข้างนอก:
\[\int \cos(\htmlClass{tq-u}{x^3})\,\htmlClass{tq-du}{3x^2\,dx}\]
2 ตั้งชื่อ:
\[\htmlClass{tq-u}{u = x^3} \qquad \htmlClass{tq-du}{du = 3x^2\,dx}\]
3 เขียนใหม่แล้ว integrate:
\[\int \cos \htmlClass{tq-u}{u}\;\htmlClass{tq-du}{du} = \sin \htmlClass{tq-u}{u} + C\]
4 แทน x กลับ — แล้วตรวจด้วยการ differentiate:
\[\sin(x^3) + C \quad\xrightarrow{\;d/dx\;}\quad \cos(x^3)\cdot 3x^2 \;\checkmark\]
\(\displaystyle \int x\,e^{x^2}\,dx = \;?\)
\(e^{x^2} + C\)
\(\tfrac12\, e^{x^2} + C\)
\(2\,e^{x^2} + C\)
\(\tfrac12\, x^2 e^{x^2} + C\)
ตรวจคำตอบ
\(u = x^2,\; du = 2x\,dx\) ดังนั้น \(x\,dx = \tfrac12\,du\) และ integral เท่ากับ \(\tfrac12\int e^u\,du = \tfrac12 e^{x^2} + C\)
½ คือการแก้ “ต่างแค่ค่าคงที่” ถ้าไม่มี ½ เมื่อ differentiate \(e^{x^2}\) จะได้ \(2x\,e^{x^2}\) มากไปสองเท่า
by parts: กฎผลคูณที่เดินย้อนกลับ
กฎผลคูณบอกว่า \((uv)' = u'v + uv'\) integrate ทั้งสองข้างแล้วย้ายข้างหนึ่งพจน์ จะได้เทคนิคทั้งหมด:
\[\int \htmlClass{tq-u}{u}\,dv = \htmlClass{tq-u}{u}\,v - \int v\,\htmlClass{tq-du}{du}\]
สูตรนี้แลก integral ที่มีอยู่ เป็นอีกตัวหนึ่ง ทักษะทั้งหมดคือการเลือก u ให้ตัวใหม่ง่ายกว่าเดิม
ภาพนี้ตอบคำถาม: ทำไมสูตรนี้ถึงจริง — และการเลือก u เปลี่ยนอะไร
\(\int x\,e^x\,dx\) วาดโดยให้ u เป็นแกนตั้ง v เป็นแกนนอน เมื่อ x เพิ่ม จุด (v, u) ลากเป็นเส้นโค้ง สี่เหลี่ยมเส้นประมีพื้นที่ uv กด ▶ — แล้วสลับการเลือก u แล้วกดอีกครั้ง เส้นโค้งแบ่งสี่เหลี่ยมเป็นสีฟ้า (\(\int u\,dv\) ตัวที่เราต้องการ) กับสีเขียว (\(\int v\,du\) ตัวที่เหลือให้ทำ) เสมอ ฟ้า = สี่เหลี่ยม − เขียว นั่นคือสูตร ถ้า \(u = x\) ส่วนเขียวคือ \(\int e^x\,dx\) ขั้นเดียวจบ ถ้า \(u = e^x\) ส่วนเขียวคือ \(\int \tfrac{x^2}{2}e^x\,dx\) — กำลังของ x เพิ่มขึ้น จึงยากกว่า แม้พื้นที่จะเล็กกว่า
1 เลือก: u คือส่วนที่ differentiate แล้วง่ายลง dv คือส่วนที่ integrate ได้
\[\htmlClass{tq-u}{u = x}, \qquad dv = e^x\,dx\]
2 หา du และ v:
\[\htmlClass{tq-du}{du = dx}, \qquad v = \int e^x\,dx = e^x\]
3 เข้าสูตร — ตัวที่เหลือง่าย:
\[\int x\,e^x\,dx = x\,e^x - \int e^x\,dx = e^x(x - 1) + C\]
4 ตรวจด้วยการ differentiate:
\[\frac{d}{dx}\big[e^x(x-1)\big] = e^x(x-1) + e^x = x\,e^x \;\checkmark\]
การเลือก u: สามแบบที่เจอบ่อย
กำลังของ x ลดลงเรื่อย ๆ
ให้ u เป็นกำลังของ x ทำแต่ละรอบกำลังจะลดลง ทำ by parts หนึ่งรอบต่อหนึ่งกำลัง
\[\begin{aligned}&\int x^2\cos x\,dx \\ &= x^2\sin x + 2x\cos x \\ &\quad - 2\sin x + C\end{aligned}\]
มี ln x ให้ ln x เป็น u
ln x integrate ยาก แต่ differentiate ได้ 1/x — จึงให้เป็น u แม้มีกำลังของ x อยู่ด้วย
\[\begin{aligned}&\int x\ln x\,dx \\ &= \frac{x^2\ln x}{2} - \frac{x^2}{4} + C\end{aligned}\]
integral วนกลับมา
eˣ คู่กับ sin หรือ cos: ทำ by parts สองรอบ integral เดิมจะกลับมา ย้ายข้างแล้วหารสอง
\[\begin{aligned}&\int e^x\sin x\,dx \\ &= \tfrac{1}{2}e^x\sin x \\ &\quad - \tfrac{1}{2}e^x\cos x + C\end{aligned}\]
สำหรับ \(\int x\ln x\,dx\) ควรเลือก u เป็นอะไร
\(u = \ln x\)
\(u = x\)
แบบไหนก็เหมือนกัน
ตรวจคำตอบ
ถ้า \(u = \ln x\): \(du = \tfrac{1}{x}\,dx\) และ \(v = \tfrac{x^2}{2}\) ตัวที่เหลือคือ \(\int \tfrac{x}{2}\,dx\) — ง่าย
ถ้า \(u = x\) ต้องหา \(v = \int \ln x\,dx\) ก่อน ซึ่งเองก็เป็นโจทย์ by parts อีกข้อ
แยกเศษส่วนย่อย: การบวกเศษส่วนที่เดินย้อนกลับ
บวกเศษส่วนง่าย ๆ สองก้อน ได้เศษส่วนยาก ๆ หนึ่งก้อน การแยกเศษส่วนย่อยคือการเดินย้อนกลับ: มีก้อนยาก
หาว่ามันมาจากก้อนง่ายตัวไหน — เพราะก้อนง่ายแต่ละก้อน \(A/(x-a)\) integrate ได้ทันทีเป็น \(A\ln|x-a|\)
\[\frac{3}{(x-1)(x+2)} = \frac{\htmlClass{tq-pa}{A}}{x-1} + \frac{\htmlClass{tq-pb}{B}}{x+2}\]
ภาพนี้ตอบคำถาม: เส้นยากเป็นเส้นง่ายสองเส้นบวกกันจริงไหม — และหา A กับ B อย่างไร
ขาว: \(3/((x-1)(x+2))\) เขียว: \(A/(x-1)\) เหลือง: \(B/(x+2)\) เส้นประฟ้า: เขียว + เหลือง ปรับ A กับ B จนเส้นประทับเส้นขาว — หรือกด ▶ ดูมันเลื่อนเข้าที่ ที่ \(A = 1,\ B = -1\) เส้นง่ายสองเส้นรวมกันได้เส้นยากพอดีทุกจุด รวมถึงที่ผนังทั้งสองด้วย
1 คูณทั้งสองข้างด้วยตัวส่วน:
\[3 = \htmlClass{tq-pa}{A}(x+2) + \htmlClass{tq-pb}{B}(x-1)\]
2 แทนรากทีละตัว: เทอมหนึ่งคูณศูนย์แล้วหายไป
\[\begin{aligned} x = 1:&\quad 3 = 3\htmlClass{tq-pa}{A} \;\Rightarrow\; \htmlClass{tq-pa}{A} = 1 \\ x = -2:&\quad 3 = -3\htmlClass{tq-pb}{B} \;\Rightarrow\; \htmlClass{tq-pb}{B} = -1\end{aligned}\]
3 แต่ละก้อนคือ ln:
\[\begin{aligned}\int \frac{3\,dx}{(x-1)(x+2)} &= \ln|x-1| - \ln|x+2| + C \\ &= \ln\left|\frac{x-1}{x+2}\right| + C\end{aligned}\]
เมื่อตัวส่วนไม่ง่ายแบบนี้
ตัวประกอบซ้ำ
มีหนึ่งเทอมต่อหนึ่งกำลังของมัน
\[\begin{aligned}&\frac{1}{x(x-1)^2} \\ &= \frac{1}{x} - \frac{1}{x-1} \\ &\quad + \frac{1}{(x-1)^2}\end{aligned}\]
กำลังสองที่แยกตัวประกอบไม่ได้
ถ้า b² − 4ac < 0 ข้างบนเป็น Bx + C ไม่ใช่ตัวเลข
\[\begin{aligned}&\frac{1}{x(x^2+1)} \\ &= \frac{1}{x} - \frac{x}{x^2+1}\end{aligned}\]
ตัวเศษกำลังไม่น้อยกว่าตัวส่วน
หารยาวก่อน แล้วค่อยแยกเศษที่เหลือ
\[\frac{x^2}{x^2-1} = 1 + \frac{1}{x^2-1}\]
\(\dfrac{5}{(x-2)(x+3)} = \dfrac{A}{x-2} + \dfrac{B}{x+3}\) — A และ B เท่าไร
\(A = 1,\ B = -1\)
\(A = -1,\ B = 1\)
\(A = 5,\ B = 5\)
\(A = 1,\ B = 1\)
ตรวจคำตอบ
\(5 = A(x+3) + B(x-2)\) แทน \(x = 2\): \(5 = 5A\) ได้ \(A = 1\) แทน \(x = -3\): \(5 = -5B\) ได้ \(B = -1\) integral คือ
\(\ln|x-2| - \ln|x+3| + C\)
อินทิเกรตตรีโกณ: แลกจนมีตัวหนึ่งเป็น du
กำลังของ sin และ cos ไม่อยู่ในตาราง — แต่ห่างจากการเปลี่ยนตัวแปรแค่การแลกครั้งเดียว
ตัวแลกคือ \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\): sin หนึ่งคู่ เปลี่ยนเป็น cos ได้ และกลับกัน
แลกไปเรื่อย ๆ จนเหลือตัวประกอบหนึ่งตัวที่เป็น du ของส่วนที่เหลือทั้งหมด นี่คือวิธีทั้งหมด
เครื่องนี้ตอบคำถาม: ตัวไหนจะกลายเป็น du — และถ้าไม่มีตัวไหนเป็นได้ จะทำอย่างไร
แต่ละแผ่นคือตัวประกอบหนึ่งตัวของโจทย์: sin สีแดง cos สีเหลือง แผ่นที่แยกออกกลายเป็นสีเขียวเมื่อมันเป็น du ที่เหลือเป็นสีฟ้าเมื่อเขียนด้วย u แล้ว กด ▶ ดูทีละก้าว — แล้วเปลี่ยนกำลังและเล่นใหม่ ลอง m = 2, n = 2 ถ้ามีกำลังคี่ แผ่นหนึ่งจะแยกออกมาเป็น du และคู่ที่เหลือพลิกเป็นอีกฟังก์ชัน — จากนั้นก็คือการเปลี่ยนตัวแปรธรรมดา ถ้ากำลังเป็นคู่ทั้งหมด ไม่มีแผ่นเหลือ: ใช้มุมครึ่งลดกำลังลงแทน ลองสลับไป tan·sec: เกมเดียวกัน แลกด้วย \(\sec^2 x = 1 + \tan^2 x\)
ภาพนี้ตอบคำถาม: รากอย่าง \(\sqrt{9 - 4x^2}\) หายไปได้อย่างไร
\[\htmlClass{tq-opp}{2x} = \htmlClass{tq-hyp}{3}\sin\theta \;\Longrightarrow\; \htmlClass{tq-adj}{\sqrt{9 - 4x^2}} = \sqrt{9 - 9\sin^2\theta} = \htmlClass{tq-adj}{3\cos\theta}\]
สามเหลี่ยมมุมฉาก ด้านตรงข้ามมุมฉากยาว 3 ด้านตรงข้ามมุม θ ยาว 2x ลากมุมสีเหลืองไปตามวงกลม หรือเลื่อน x ตามพีทาโกรัส ด้านที่สามคือ \(\sqrt{9 - 4x^2}\) — รากในโจทย์ก็คือด้านหนึ่งของสามเหลี่ยมนี้ และด้านนั้นยาว \(3\cos\theta\) ดังนั้นแทน \(2x = 3\sin\theta\) รากจะกลายเป็น \(3\cos\theta\) ไม่เหลือรากอีก กรณีทั่วไป \(\sqrt{a^2 - b^2x^2}\): วาดสามเหลี่ยมที่ด้านตรงข้ามมุมฉากยาว a และด้านตรงข้าม θ ยาว bx
1 แทนค่า: \(x = \tfrac32\sin\theta,\; dx = \tfrac32\cos\theta\,d\theta\)
\[\begin{aligned}\int \htmlClass{tq-adj}{\sqrt{9-4x^2}}\,dx &= \int \htmlClass{tq-adj}{3\cos\theta}\cdot\tfrac32\cos\theta\,d\theta \\ &= \tfrac92\int \cos^2\theta\,d\theta\end{aligned}\]
2 กำลังคู่ — เครื่องด้านบนบอกแล้ว: ใช้มุมครึ่ง
\[\tfrac92\int \cos^2\theta\,d\theta = \tfrac94\left(\theta + \sin\theta\cos\theta\right) + C\]
3 อ่านค่ากลับเป็น x จากสามเหลี่ยม: \(\sin\theta = \tfrac{2x}{3},\; \cos\theta = \tfrac{\sqrt{9-4x^2}}{3}\)
\[\begin{aligned}\int \sqrt{9-4x^2}\,dx &= \tfrac94\sin^{-1}\!\tfrac{2x}{3} \\ &\quad + \tfrac{x}{2}\sqrt{9-4x^2} + C\end{aligned}\]
ภาพนี้ตอบคำถาม: ถ้าความถี่ต่างกัน เช่น \(\sin 5x\cos 2x\) จะทำอย่างไร
\[\sin 5x\cos 2x = \tfrac12\htmlClass{tq-u}{\sin 7x} + \tfrac12\htmlClass{tq-du}{\sin 3x}\]
เส้นขาวคือผลคูณ \(\sin 5x\cos 2x\) — ไม่มีสูตรในตาราง integrate ได้ตรง ๆ กด ▶ แล้วลากบนภาพเพื่อเทียบค่าตรงจุดไหนก็ได้ มันแยกเป็นคลื่นธรรมดาสองคลื่น ½ sin 7x และ ½ sin 3x ผลบวกของทั้งสอง (สีเหลือง) ทับเส้นขาวพอดี กฎคือ \(\sin A\cos B = \tfrac12[\sin(A+B) + \sin(A-B)]\) คลื่นธรรมดาแต่ละคลื่นอยู่ในตาราง จึงได้ \(\int \sin 5x\cos 2x\,dx = -\tfrac{\cos 7x}{14} - \tfrac{\cos 3x}{6} + C\)
\(\int \sin^3 x\,dx = ?\)
\(\frac{\cos^4 x}{4} + C\)
\(-\cos x + \frac{\cos^3 x}{3} + C\)
\(\frac{\sin^4 x}{4} + C\)
\(-3\sin^2 x\cos x + C\)
ตรวจคำตอบ
กำลังของ sin เป็นคี่: แยก \(\sin x\) ออกหนึ่งตัว แล้วคู่ \(\sin^2 x\) กลายเป็น \(1 - \cos^2 x\) ให้
\(u = \cos x,\ du = -\sin x\,dx\): \(-\int (1 - u^2)\,du = -u + \frac{u^3}{3} + C = -\cos x + \frac{\cos^3 x}{3} + C\)
(\(\frac{\sin^4 x}{4}\) ต้องมี \(\cos x\) คูณอยู่จึงจะ differentiate กลับได้ — แต่โจทย์ไม่มี) ลองตรวจในเครื่อง: m = 3, n = 0
ดูฉบับเต็ม
ตำราฟรีที่อธิบายแต่ละเทคนิคพร้อมตัวอย่างอีกมาก (ภาษาอังกฤษ):