เทคนิคการ integrate

Techniques of integration

Integral (ปริพันธ์) และการประยุกต์เรียนก่อน

เทคนิคการ integrateคุณอยู่ที่นี่

Improper integral (ปริพันธ์ไม่ตรงแบบ)ต่อไป ระบบพิกัดเชิงขั้วต่อไป ลำดับและอนุกรมต่อไป Integral หลายชั้น (ปริพันธ์หลายชั้น)ต่อไป สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งต่อไป อนุกรมและการแปลงฟูริเยร์ต่อไป

ทำไมต้องเรียน

integral ส่วนใหญ่ที่เจอจริงหาตรง ๆ ไม่ได้ ต้องแปลงรูปก่อน

บทเรียนแบบโต้ตอบ เรียนด้วยมือคุณเอง — ลากกราฟ ซูมเข้าไปดู แล้วเห็นว่า เทคนิคการ integrate ทำงานอย่างไร เริ่มเลย →

แนวคิดสำคัญสรุปไว้ทบทวน

สรุปไว้ทบทวน ถ้ายังไม่เคยเรียนเรื่องนี้ เริ่มที่แท็บ “เรียน” ก่อน

ทุกเทคนิค คือกฎของ derivative ที่ทำย้อนกลับ

กฎลูกโซ่	→	การเปลี่ยนตัวแปร
กฎผลคูณ	→	by parts
การบวกเศษส่วน	→	แยกเศษส่วนย่อย
sin² + cos² = 1	→	integrate ตรีโกณ

การ integrate คือการดูให้ออกว่าโจทย์เกิดจากกฎไหน แล้วเดินกฎนั้นย้อนกลับ

เปลี่ยนตัวแปร: มีฟังก์ชันข้างใน และ derivative ของมันคูณอยู่ข้างนอก

∫ f(g(x)) g′(x) dx = ∫ f(u) du

∫ cos(x³) 3x² dx = sin(x³) + C

ให้ u เป็นก้อนข้างใน ถ้า derivative ของมันมีอยู่ (พอดี หรือต่างแค่ค่าคงที่) ทุกอย่างจะกลายเป็น u

by parts: ผลคูณของฟังก์ชันสองชนิด

∫ u dv = u v − ∫ v du

∫ x eˣ dx = x eˣ − ∫ eˣ dx = eˣ(x − 1) + C

เลือก u เป็นส่วนที่ differentiate แล้วง่ายลง (เช่น x หรือ ln x) ส่วน dv คือส่วนที่ integrate ได้

แยกเศษส่วนย่อย: แยกก่อน แล้วแต่ละก้อนคือ ln

3/((x − 1)(x + 2)) = 1/(x − 1) − 1/(x + 2)

∫ 3 dx/((x − 1)(x + 2)) = ln|x − 1| − ln|x + 2| + C

แยกตัวประกอบตัวส่วน เขียนเศษส่วนง่าย ๆ หนึ่งก้อนต่อหนึ่งตัวประกอบ แล้วหาตัวเลขข้างบน

กำลังของ sin และ cos: แลกทีละคู่จนเหลือหนึ่งตัวเป็น du

∫ sin³x dx = ∫ (1 − cos²x) sin x dx = −cos x + cos³x/3 + C

∫ cos²x dx = ∫ (1 + cos 2x)/2 dx = x/2 + sin 2x/4 + C

มีกำลังคี่: แยกหนึ่งตัวไว้เป็น du แล้วแลกคู่ที่เหลือด้วย sin² + cos² = 1 ถ้ากำลังเป็นคู่ทั้งหมด: ใช้มุมครึ่ง

รากของ a² − b²x²: วาดสามเหลี่ยม

2x = 3 sin θ ⇒ √(9 − 4x²) = 3 cos θ

รากคือด้านหนึ่งของสามเหลี่ยมมุมฉาก การแทนค่านี้จึงไม่เหลือรากอีก

ทุกครั้ง: differentiate กลับ และอย่าลืม + C

d/dx [eˣ(x − 1)] = eˣ(x − 1) + eˣ = x eˣ ✓

ถ้า differentiate คำตอบแล้วได้ฟังก์ชันเดิม คำตอบถูก คำตอบสองแบบที่ต่างกันแค่ค่าคงที่ ถูกทั้งคู่ — + C มีไว้สำหรับเรื่องนี้

เรียบเรียงด้วย AI จากแหล่งของหัวข้อนี้

ดูวิธีทำทีละบรรทัดเริ่มจากง่าย แล้วค่อยยากขึ้น

ลองทำโจทย์ทีละขั้น

f(x) = ∫ lim x → dx

ความชันที่ x = จาก ถึง เว้นว่างไว้ = integral ไม่จำกัดเขต พิมพ์สมการ หรือนิพจน์ที่ = 0

ลอง

ลองคิดเองก่อน — แล้วค่อยเปิดดูวิธีทำทีละขั้น หรือทั้งหมดในครั้งเดียว

ทุกขั้นคำนวณด้วยโค้ดและตรวจซ้ำแล้ว ไม่ได้มาจากการเดาของ AI ระบบใช้กฎทีละข้อ แล้วตรวจกลับ: derivative เทียบกับการคำนวณอีกวิธี คำตอบ integral นำไป differentiate กลับ คำตอบของสมการแทนกลับลงไป

อ่านจากตำราและเอกสาร

หน้าที่ระบบค้นพบว่าสอนเรื่องนี้ เรียงจากตรงที่สุด กดที่ภาพเพื่อเปิดอ่านและพลิกหน้า