Improper integral (ปริพันธ์ไม่ตรงแบบ)
Improper integrals
ระบบจริงมักทำงานไปเรื่อย ๆ ไม่มีจุดจบ เช่นน้ำที่ไหลออกจากถังจนหมด หรือการแปลงลาปลาซในวิชาถัดไป ซึ่งเป็น integral ถึงอนันต์ทั้งหมด
-
improper integral คือ integral จำกัดเขตที่มีปัญหา สองแบบ: ขอบเขตเป็น ±∞ หรือฟังก์ชันพุ่งไม่มีขอบเขตที่จุดใดจุดหนึ่งในช่วง แทนค่าตรง ๆ ไม่ได้ ต้องเปลี่ยนจุดที่มีปัญหาเป็นตัวแปร แล้วหาลิมิต เช่น ∫₁^∞ f dx = lim (b→∞) ∫₁ᵇ f dx ถ้าลิมิตเป็นตัวเลข เรียกว่าลู่เข้า ถ้าเป็น ±∞ หรือไม่มี เรียกว่าลู่ออก
จาก Math 1: อินทิกรัลจำกัดเขต หน้า 55 -
การทดสอบ p: ∫₁^∞ dx/xᵖ ลู่เข้าเมื่อ p > 1 และลู่ออกเมื่อ p ≤ 1 เช่น ∫₁^∞ dx/x² = 1 แต่ ∫₁^∞ dx/x ลู่ออก ทั้งที่กราฟของทั้งสองเข้าใกล้ศูนย์ — กราฟเข้าใกล้ศูนย์ไม่ได้แปลว่าพื้นที่มีค่าจำกัด ต้องเข้าใกล้เร็วพอ
จาก Math 1: อินทิกรัลจำกัดเขต หน้า 56 -
ถ้าทั้งสองขอบเป็นอนันต์ ให้แบ่งที่จุดใดก็ได้ เช่นศูนย์ แล้วหาลิมิตแยกกันทีละส่วน ทั้งสองส่วนต้องลู่เข้า ถ้าส่วนใดลู่ออก ทั้งหมดลู่ออก เช่น ∫₋∞^∞ dx/(1 + x²) = π/2 + π/2 = π
จาก Math 1: อินทิกรัลจำกัดเขต หน้า 58 -
ก่อน integrate ทุกครั้ง ให้หาจุดที่ฟังก์ชันพุ่ง เช่นตัวส่วนเป็นศูนย์ ว่าอยู่ในช่วงหรือไม่ ถ้าอยู่ที่ปลายช่วงให้หาลิมิตจากด้านใน ถ้าอยู่กลางช่วงต้องแบ่งที่จุดนั้น เช่น ∫₋₁¹ dx/x² ทำตรง ๆ ได้ −2 ซึ่งผิด เพราะฟังก์ชันเป็นบวก ที่ถูกคือลู่ออก ฟังก์ชันบวกแต่ได้คำตอบติดลบ เป็นสัญญาณว่ามีจุดพุ่งที่มองข้ามไป
จาก Math 1: อินทิกรัลจำกัดเขต หน้า 65
อีก 1 ข้อ
-
improper integral ใช้หาพื้นที่และปริมาตรที่ยาวไม่สิ้นสุดได้ เช่น พื้นที่ใต้ y = e^(−2x) ตั้งแต่ x = 0 ไปทางขวาไม่สิ้นสุด เท่ากับ 1/2 เพราะ e^(−kx) เข้าใกล้ศูนย์เร็วมากเมื่อ k > 0 integral แบบนี้จึงมักลู่เข้า
จาก Math 1: อินทิกรัลจำกัดเขต หน้า 62
เรียบเรียงด้วย AI จากแหล่งของหัวข้อนี้
ลองคิดเองก่อน — แล้วค่อยเปิดดูวิธีทำทีละขั้น หรือทั้งหมดในครั้งเดียว
หน้าที่ระบบค้นพบว่าสอนเรื่องนี้ เรียงจากตรงที่สุด กดที่ภาพเพื่อเปิดอ่านและพลิกหน้า
