ลำดับและอนุกรม
Sequences and series
อนุกรมเทย์เลอร์คือวิธีที่เครื่องคิดเลขและวิศวกรประมาณฟังก์ชันที่ซับซ้อนด้วยพหุนาม
-
อนุกรมอนันต์ Σ aₙ คือการบวกพจน์ของลำดับไปไม่สิ้นสุด ค่าของมันคือลิมิตของผลบวกย่อย Sₙ = a₁ + a₂ + … + aₙ เมื่อ n → ∞ ถ้าลิมิตเป็นตัวเลข อนุกรมลู่เข้า ถ้าไม่ อนุกรมลู่ออก ลิมิตของลำดับเองหาได้เหมือนลิมิตที่อนันต์
จาก Math 1: อนุกรม หน้า 2 -
อนุกรมที่พจน์หักล้างกัน (telescoping): แยกเศษส่วนย่อยก่อน แล้วเขียนผลบวกย่อยออกมา ตัวกลางจะหักล้างกันหมด เช่น Σ 1/(n(n + 1)) = Σ (1/n − 1/(n + 1)) มี Sₙ = 1 − 1/(n + 1) จึงได้ผลบวก 1
จาก Math 1: อนุกรม หน้า 3 -
อนุกรมเรขาคณิต Σ arⁿ⁻¹ (แต่ละพจน์คือพจน์ก่อนคูณ r) ลู่เข้าเมื่อ |r| < 1 และมีผลบวก a/(1 − r) ถ้า |r| ≥ 1 ลู่ออก ต้องตรวจ r ก่อนใช้สูตรเสมอ เช่น 3 + 3/2 + 3/4 + … = 3/(1 − 1/2) = 6
จาก Math 1: อนุกรม หน้า 6 -
ทดสอบการลู่ออก: ถ้า lim aₙ ≠ 0 อนุกรมลู่ออกแน่นอน ควรลองเป็นอย่างแรก แต่ห้ามกลับทาง ถ้า lim aₙ = 0 ยังสรุปไม่ได้ เช่น Σ 1/n พจน์เข้าใกล้ 0 แต่ลู่ออก (อนุกรม p: Σ 1/nᵖ ลู่เข้าเมื่อ p > 1 เท่านั้น)
จาก Math 1: อนุกรม หน้า 10
อีก 4 ข้อ
-
การทดสอบโดยการเปรียบเทียบ: ถ้า 0 ≤ aₙ ≤ bₙ และ Σ bₙ ลู่เข้า แล้ว Σ aₙ ลู่เข้า ถ้า aₙ ≥ bₙ ≥ 0 และ Σ bₙ ลู่ออก แล้ว Σ aₙ ลู่ออก ตัวเทียบที่ใช้บ่อยคืออนุกรม p และอนุกรมเรขาคณิต เช่น 1/(n² + 1) < 1/n² จึงลู่เข้า — ระวังทิศของอสมการ
จาก Math 1: อนุกรม หน้า 12 -
การทดสอบอัตราส่วน: L = lim |aₙ₊₁/aₙ| ถ้า L < 1 ลู่เข้า ถ้า L > 1 ลู่ออก ถ้า L = 1 บอกไม่ได้ ต้องใช้วิธีอื่น เหมาะกับพจน์ที่มี 2ⁿ หรือ n! เช่น Σ n/2ⁿ ได้ L = 1/2 จึงลู่เข้า การทดสอบบอกแค่ว่าลู่เข้า ไม่ได้บอกผลบวก
จาก Math 1: อนุกรม หน้า 20 -
อนุกรมกำลัง Σ cₙ(x − a)ⁿ ลู่เข้าหรือไม่ขึ้นกับ x ใช้การทดสอบอัตราส่วนจะได้ |x − a| < R เรียก R ว่ารัศมีการลู่เข้า ที่ปลายช่วงพอดี (x = a ± R) การทดสอบได้ L = 1 ต้องแทนค่าตรวจแยกเอง เช่น Σ (x − 1)ⁿ/2ⁿ มี R = 2 ศูนย์กลาง x = 1
-
อนุกรมเทย์เลอร์เขียนฟังก์ชันเป็นพหุนาม: f(x) = Σ f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! รอบ a = 0 เรียกว่าแมคลอริน เช่น eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + … และ sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − … ใช้ประมาณค่า เช่น e^0.1 ≈ 1.105167 ด้วยสี่พจน์
เรียบเรียงด้วย AI จากแหล่งของหัวข้อนี้
หน้าที่ระบบค้นพบว่าสอนเรื่องนี้ เรียงจากตรงที่สุด กดที่ภาพเพื่อเปิดอ่านและพลิกหน้า
