Integral (ปริพันธ์) และการประยุกต์
Integrals and applications
integral คือการรวมของที่เปลี่ยนไปเรื่อย ๆ ให้เป็นผลรวมเดียว เช่น ปริมาณน้ำทั้งหมดจากอัตราการไหล
สรุปไว้ทบทวน ถ้ายังไม่เคยเรียนเรื่องนี้ เริ่มที่แท็บ “เรียน” ก่อน
-
integral ไม่จำกัดเขต คือการย้อนกลับของ derivative: ถ้า F′(x) = f(x) จะเขียน ∫ f(x) dx = F(x) + C ต้องมี + C เสมอ เพราะค่าคงที่ใด ๆ diff แล้วเป็นศูนย์ คำตอบจึงมีได้หลายตัวที่ต่างกันแค่ค่าคงที่ และตรวจคำตอบได้ทุกครั้งด้วยการ diff กลับ ต้องได้ f(x)
จาก Math 1: อินทิเกรต1 หน้า 4 -
สูตรพื้นฐานคือสูตร diff อ่านกลับด้าน: ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C เมื่อ n ≠ −1 (เพิ่มกำลังหนึ่ง แล้วหาร) ∫ (1/x) dx = ln|x| + C · ∫ eˣ dx = eˣ + C · ∫ cos x dx = sin x + C · ∫ sin x dx = −cos x + C · ∫ sec² x dx = tan x + C — ระวังเครื่องหมายลบของ ∫ sin x
จาก Math 1: อินทิเกรต1 หน้า 5 -
ถ้าโจทย์ไม่ตรงสูตร ให้จัดรูปก่อน: กระจายวงเล็บ แยกเศษส่วนเป็นทีละพจน์ เขียนรากเป็นเลขยกกำลัง เช่น ∫ (2x + 1)² dx กระจายเป็น ∫ (4x² + 4x + 1) dx = (4/3)x³ + 2x² + x + C ห้ามใช้กฎยกกำลังกับทั้งก้อนในวงเล็บ เพราะ (2x + 1)³/3 diff กลับแล้วมีสองเกินมา
จาก Math 1: อินทิเกรต1 หน้า 8 -
integral จำกัดเขต: ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a) เมื่อ F′ = f (ทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัส) หา F ก่อน แล้วเอาค่าที่ขอบบนลบค่าที่ขอบล่าง ไม่ต้องบวก C เพราะลบกันหายไป เช่น ∫₁² (3x² − 2x) dx = [x³ − x²]₁² = 4 − 0 = 4
จาก Math 1: อินทิกรัลจำกัดเขต หน้า 2
อีก 3 ข้อ
-
integral จำกัดเขตนับส่วนที่กราฟอยู่ใต้แกน x เป็นค่าลบ จึงไม่ใช่พื้นที่เสมอไป ถ้าโจทย์ถามพื้นที่ ให้หาจุดที่กราฟตัดแกนก่อน แบ่งช่วงที่จุดนั้น แล้วใส่ค่าสัมบูรณ์ให้ส่วนที่อยู่ใต้แกน เช่น y = x² − 1 บน [0, 2] พื้นที่คือ 2/3 + 4/3 = 2 ทั้งที่ ∫₀² ได้แค่ 2/3
จาก Math 1: อินทิกรัลจำกัดเขต หน้า 7 -
พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งสองเส้น: (1) วาดกราฟหรือหาจุดตัดของสองเส้น ซึ่งคือขอบเขต (2) ดูว่าเส้นไหนอยู่บน โดยแทนจุดใดก็ได้ในช่วง (3) A = ∫ (y บน − y ล่าง) dx ถ้าเส้นเขียนเป็น x = f(y) ง่ายกว่า เช่นพาราโบลาตะแคง ให้ใช้แถบนอน A = ∫ (x ขวา − x ซ้าย) dy
จาก Math 1: อินทิกรัลจำกัดเขต หน้า 15 -
ปริมาตรจากการหมุน วิธีจาน (disk): หั่นรูปทรงเป็นแผ่นวงกลมบาง ๆ ตั้งฉากกับแกนหมุน รัศมีคือความสูงของกราฟ หมุนรอบแกน x ได้ V = π ∫ₐᵇ y² dx และถ้ามีรูตรงกลางใช้ π ∫ (R² − r²) dx ถ้าหมุนรอบแกน y แต่ฟังก์ชันเป็น y = f(x) ใช้วิธีเปลือกทรงกระบอก (shell) V = 2π ∫ x f(x) dx
จาก Math 1: อินทิกรัลจำกัดเขต หน้า 27
เรียบเรียงด้วย AI จากแหล่งของหัวข้อนี้
ลองคิดเองก่อน — แล้วค่อยเปิดดูวิธีทำทีละขั้น หรือทั้งหมดในครั้งเดียว
หน้าที่ระบบค้นพบว่าสอนเรื่องนี้ เรียงจากตรงที่สุด กดที่ภาพเพื่อเปิดอ่านและพลิกหน้า
