คณิตศาสตร์วิศวกรรม 1 · integral หน้า 2 จาก 2

พื้นที่และปริมาตร

ท่าเดียว ใช้สามครั้ง: หั่นเป็นชิ้นบาง ๆ เขียนชิ้นหนึ่งเป็น (บางอย่าง) × ความหนาของมัน แล้วให้ integral รวมให้

เริ่มเลย ↓ ← หน้า 1: integral คืออะไร ไปฝึกโจทย์

พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งสองเส้น

หน้า 1 วัดพื้นที่ระหว่างเส้นโค้งกับแกน x ส่วนระหว่างเส้นโค้งสองเส้นก็ใช้ท่าเดิม: แถบตั้งบาง ๆ แต่คราวนี้ลากจากเส้นล่างขึ้นไปถึงเส้นบน ความสูงของแถบคือ บน − ล่าง พื้นที่ของแถบคือ (บน − ล่าง) × Δx แล้วให้ integral รวมทุกแถบ ตัวอย่างในชีท (หน้า 17): y = 6 − 3x² กับ y = 3x จาก x = 0 ถึง 2

แถบลากจากเส้นล่างขึ้นไปถึงเส้นบน ความสูงของแถบคือผลต่างของสองเส้นเลื่อนแถบข้าม x = 1 (◀ ▶ หรือลาก) แล้วดูว่าเส้นไหนอยู่บนสองเส้นตัดกันที่ x = 1 “บน − ล่าง” จึงเป็นคนละสูตรในแต่ละข้าง ชีทจึงแยกพื้นที่เป็นสอง integral ตรงนั้น

1 6 − 3x² = 3x ⇒ x² + x − 2 = 0 ⇒ (x − 1)(x + 2) = 0 ⇒ x = 1 หาจุดตัด (x = −2 อยู่นอกช่วง [0, 2])

2 ∫₀¹ (6 − 3x² − 3x) dx = [6x − x³ − 3x²/2]₀¹ = 7/2 บน [0, 1] เส้นบนคือ 6 − 3x²

3 ∫₁² (3x − 6 + 3x²) dx = [3x²/2 − 6x + x³]₁² = 2 − (−7/2) = 11/2 บน [1, 2] เส้นบนคือ 3x

4 = 7/2 + 11/2 = 9 ตารางหน่วย รวมสองส่วน (ชีทหน้า 17)

จะหั่นแนวไหนดี

เปลี่ยนรูปข้างบนเป็น ชีทหน้า 24: y² = 4x กับเส้นตรง y = 2x − 4 ถ้าใช้แถบตั้ง ขอบล่างเป็นครึ่งล่างของพาราโบลาจนถึง x = 1 แล้วกลายเป็นเส้นตรงหลังจากนั้น พื้นที่จึงต้องใช้สอง integral: 8/3 + 19/3 = 9 แต่ถ้าหมุนแถบเป็นแนวนอน (dy) ทุกแถบลากจากพาราโบลา x = y²/4 ไปถึงเส้นตรง x = (y + 4)/2 ตลอดตั้งแต่ y = −2 ถึง 4 — integral ก้อนเดียว ได้ 9 เหมือนกัน

หลักในการเลือก: หั่นแนวที่ทำให้สูตรของแถบเหมือนเดิมตลอดทั้งบริเวณ (วิธีทำในชีทของข้อนี้ใช้แค่ครึ่งบนของพาราโบลา และขาดส่วนจาก x = 0 ถึง 1 ไป)

พื้นที่ระหว่าง y = x กับ y = x² จาก x = 0 ถึง 1 เท่ากับ …

ปริมาตร: หมุนแล้วหั่นเป็นจาน

หมุนเส้นโค้ง y = √x (จาก x = 1 ถึง 4) รอบแกน x จะได้ทรงตัน คล้ายแจกันวางนอน หั่นทรงตันนั้นตามขวาง แต่ละชิ้นเป็นจานบาง ๆ รัศมี r = √x ปริมาตรของมันจึงเท่ากับ π r² × Δx รวมทุกจาน — ท่าเดียวกับแท่งในหน้า 1 — ยิ่งบาง ผลรวมก็ยิ่งเข้าใกล้ V = π ∫₁⁴ x dx = 15π/2 (ชีทหน้า 30)

มองทรงตันจากด้านข้าง แถบสีฟ้าแต่ละแถบคือจานหนึ่งใบที่มองเห็นด้านสัน สูงเท่าเส้นผ่านศูนย์กลาง 2r วงสีเหลืองคือหน้าของจานใบสุดท้ายทำจานให้บางลงด้วย ▶ แล้วดูผลรวมเข้าใกล้ 15π/2 จากนั้นสลับเป็นวงแหวนวงแหวนคือจานที่มีรูตรงกลาง หน้าของมันคือ πR² − πr² จึงเป็น π(R² − r²) ไม่ใช่ π(R − r)²

หมุนบริเวณระหว่าง y = 2 + x² (ด้านนอก) กับ y = x² (ด้านใน) x จาก 0 ถึง 2 รอบแกน x ปริมาตรคือ integral ใด

หั่นสองแบบ ได้ปริมาตรเดียวกัน

หมุนบริเวณระหว่าง x = y² กับ x = 3y (จาก y = 0 ถึง 3) รอบแกน y (ชีทหน้า 33) หั่นตามขวาง ทุกชิ้นเป็นวงแหวนที่ความสูง y: V = π ∫₀³ ((3y)² − (y²)²) dy หรือหั่นตามยาว แถบบาง ๆ ที่ห่างแกน x หมุนแล้วกลายเป็นเปลือกทรงกระบอก — ท่อบาง ๆ รัศมี x สูง √x − x/3 คลี่ออกจะได้แผ่นเกือบแบน ยาว 2πx จึงได้ V = 2π ∫₀⁹ x(√x − x/3) dx ทั้งสองแบบได้ 162π/5

บริเวณที่แรเงาหมุนรอบแกน y (เส้นประ) ภาพสะท้อนจาง ๆ คืออีกด้านของทรงตัน ชิ้นสีเหลืองคือชิ้นที่เลื่อนได้เลื่อนชิ้นนั้น แล้วสลับระหว่างวงแหวนกับเปลือกทั้งสองแบบรวมทรงตันเดียวกัน จึงต้องได้ค่าเท่ากัน — ได้ 162π/5 จริง ๆ เลือกแบบที่สูตรของชิ้นง่ายกว่า

ทรงตันที่หมุนรอบแกน y ต้อง integrate ด้วย dy เสมอ จริงหรือไม่

ดูฉบับเต็ม

ตอนแรกของ 3Blue1Brown หาพื้นที่วงกลมด้วยการหั่นเป็นวงแหวนบาง ๆ — วงแหวนยาว 2πr หนา dr พื้นที่จึงเป็น ∫₀ᴿ 2πr dr = πR² ท่าเดียวกับเปลือกข้างบน มีคำบรรยายไทย

วิดีโอเป็นของ 3Blue1Brown ฝังจาก YouTube